2012　徳島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}y$が$x+y=5\text{，}{x}^3+y^3=50$を満たすとき，$xy\text{，}{x}^2+y^2\text{，}{x}^5+y^5$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x>1$とする．不等式${\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4^3}}+{\log }_x{4}^4<0$を解け．

【２】　$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の数を大きさの順に$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a\leqq b\leqq c\text{）}$とする．

(1)　$a<b<c$となる確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$のうち少なくとも二つが$3$となる確率を求めよ．

(3)　$b=3$かつ$2$次方程式$a{x}^2+2bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)　長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．

(2)　長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．

(3)　面積の比$▵\mathrm{EFC}:▵\mathrm{ABC}$を求めよ．

【４】　$f(x)=\sqrt{x}{e}^{-x}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$とする．

(1)　関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【２】　$a>0$とする．曲線$y=a^3{x}^2$を$C_1$とし，曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$l$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C_1\text{，}{C}_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

【４】　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(x,2)\text{，}\mathrm{Q}(1-\sqrt{3},y)$がある．

(1)　原点を中心とする$60\mathrm{°}$の回転移動によって点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$に移るとき，$x$と$y$の値を求めよ．

(2)　$x$と$y$は(1)で求めた値とする．点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{Q}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{P}$に移す$1$次変換を表す行列$A$を求めよ．

(3)　自然数$n$と(2)で求めた行列$A$に対し

$A+2A^2+3A^3+4A^4+\cdots +(2n-1)A^{2n-1}+2n{A}^{2n}$

を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$\sqrt{3}\sin n\theta +\cos n\theta =0$を満たす$\theta >0$を小さいものから順に$n$個取り，${\theta }_1\text{，}{\theta }_2\text{，}\cdots \text{，}{\theta }_n$とする．

(1)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対し，${\theta }_k$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}}$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}(\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_1}{2}}+\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_2}{2}}+\cdots +\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}})$を求めよ．

【３】　$2$次の正方行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\mathrm{Q}(x_2,y_2)$があって，次の$2$つの条件を満たす．

条件１：$1$次変換$f$により，点$\mathrm{P}$は点$(-2x_2,-2y_2)$に移る

条件２：合成変換$f\circ f$により，点$\mathrm{Q}$は点$(4x_1,4y_1)$に移る

(1)　行列$A^3$で表される$1$次変換により，点$\mathrm{P}$は点$(-8x_1,-8y_1)$に，点$\mathrm{Q}$は点$(-8x_2,-8y_2)$に移ることを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は同一直線上にないことを示し，$x_1{y}_2-x_2{y}_1\ne 0$を示せ．

(3)　$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

【４】　表と裏のあるコイン$14$枚を一列に並べる．隣接する$2$枚の組すべてに着目し，表表，裏裏，表裏，裏表となる組の個数をそれぞれ数える．例えば，「表表表裏裏表表表裏裏裏裏裏裏」の順に並べた場合，表表は$4$個，裏裏は$6$個，表裏は$2$個，裏表は$1$個である．

(1)　表表が$0$個，裏裏が$11$個，表裏が$1$個，裏表が$1$個となる並べ方は何通りか．

(2)　表表が$0$個，裏裏が$9$個，表裏が$2$個，裏表が$2$個となる並べ方は何通りか．

(3)　表表が$2$個，裏裏が$6$個，表裏が$3$個，裏表が$2$個となる並べ方は何通りか．