2012　香川大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{5}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

1.　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

2.　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

3.　$\mathrm{FC}:\mathrm{CB}$を求めよ．

【２】　$C_1$を，中心が$(1,1)\text{，}$半径が$1$の円とする．円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots$を次のように定める．

円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．

このとき，次の問に答えよ．

1.　$\mathrm{O}$を原点とし，$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して${\mathrm{P}}_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，${\mathrm{OP}}_n$の長さを$r_n$で表せ．

2.　$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．

3.　円$C_6$は，原点を中心とした半径${\displaystyle \frac{1}{1000}}$の円の内部に含まれることを示せ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

1.　直線$l\text{：}y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．

2.　$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

3.　$C$と$l$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．

4.　点$(a,0)$を通り，図形$D$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

【４】　定数$a>0$に対して，$f(x)=a{x}^3-6a{x}^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．

2.　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(-1,f(-1))\text{，}(4,f(t))\text{，}(t,f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点$\mathrm{C}$における曲線$y=f(x)$の接線と，線分$\mathrm{AB}$とが平行になるような$t$が$1$つだけ存在することを示せ．

【５】　$a$を正の定数とし，座標平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{P}(x,0)$をとる．線分の長さ$\mathrm{OP}$と$\mathrm{PA}$の比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}}$について，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

1.　${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}}$を$x\text{，}a$を用いて表せ．

2.　${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

3.　$f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2-x+1$について，次の問に答えよ．

1.　点$(0,0)$を通り，放物線$C$に接する$2$つの直線の方程式を求めよ．

2.　放物線$C$と，1.で求めた$2$つの接線で囲まれる図形を$D$とするとき，$C$と接線の概形をかき，$D$を図示せよ．

3.　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 4\end{array}\right)$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

2.　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\text{，}$

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n\geqq 2\text{）}$

で定めるとき，$x_n\text{，}{y}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

3.　自然数$n$に対して，$A^n=a_{n}A+b_{n}E$となる$a_n\text{，}{b}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【２】　楕円$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$および双曲線$C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0\text{，}b>0$とする．

1.　楕円$C_1$上の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式は

${\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{1}y}{b^2}}=1$

であることを示せ．

2.　楕円$C_1$の外部の点$(p,q)$を通る$C_1$の$2$本の接線の接点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2$とする．直線${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$の方程式は

${\displaystyle \frac{px}{a^2}}+{\displaystyle \frac{qy}{b^2}}=1$

であることを示せ．

3.　$(p,q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線${\displaystyle \frac{px}{a^2}}+{\displaystyle \frac{qy}{b^2}}=1$は$C_2$に接することを示せ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x\sin x$について，次の問に答えよ．

1.　$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．

2.　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$と$C$との交点のうち，第$1$象限にあるものを$x$座標の小さい方から順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$とする．線分${\mathrm{P}}_{2n-1}{\mathrm{P}}_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．

3.　点${\mathrm{Q}}_n({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2(n-1)\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2(n-1)\pi )$に対して，$▵{\mathrm{P}}_{2n-1}{\mathrm{P}}_{2n}{\mathrm{Q}}_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに${\displaystyle \frac{S_n}{T_n}}$が一定であることを示せ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．集合$X_n=\{1,2,\cdots ,n\}$を$2$つの空集合ではない部分集合$A_n\text{，}{B}_n$に分ける．すなわち，$A_n\cup B_n=X_n\text{，}{A}_n\cap B_n=\varphi \text{，}{A}_n\ne \varphi \text{，}{B}_n\ne \varphi$である．$A_n$に属する自然数の和を$a_n\text{，}{B}_n$に属する自然数の和を$b_n$とおく．例えば，$n=5$のとき，$X_5$を$A_5=\{1,2,5\}\text{，}{B}_5=\{3,4\}$と分ければ，$a_5=8\text{，}{b}_5=7$となる．このとき，次の問に答えよ．

1.　$n$が$4$の倍数のとき，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．

2.　$n+1$が$4$の倍数のときも，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．

3.　$n$も$n+1$も$4$の倍数でないとき，$a_n=b_n$となるようには$X_n$を分けられないことを示せ．