2012　高知大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．

(4)　任意の実数$x\text{，}y$に対して，$|x|+|y|\leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．

【２】　$n$を自然数とし，$3$つの不等式$y\leqq -{\displaystyle \frac{x}{n}}+2\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正十角形の隣り合う頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．また，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{OAB}$は相似になることを示せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$を求めよ．

(4)　半径$1$の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が$x=\alpha$で極大値を，$x=\beta$で極小値を持ち，$f(\alpha )-f(\beta )=4$とする．

(ⅰ)　$\beta -\alpha$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(ⅱ)　$a\text{，}b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$に点$(0,8)$から引いた接線の本数がちょうど$2$本あるとする．

(ⅰ)　$x=t$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$a$の値を求めよ．

(3)　(1)，(2)がともに成り立つとき，$2$本の接線をそれぞれ求めよ．

(4)　(3)で求めた$2$本の接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　各項が正の実数である数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に対し，第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．$a_n$と$S_n$の間に次の関係が成り立っているとする．

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{a_n}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を負でない実数を成分とする行列とし，$C$を原点を中心とする半径$5$の円とする．円$C$上の任意の点$(x,y)$に対して$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$で与えられる$X\text{，}Y$は常に$9X^2-16Y^2=0$をみたしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　$c=0$のとき，$b$を$d$で表せ．

(3)　$A\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$となる$A$を$1$つ求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }\log (1+x)dx$

(2)　関数$f(x)$が区間$[0,1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x)\geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$0\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)-{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\{f(1)-f(0)\}$

(3)　$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }[{\displaystyle \frac{1}{n}}\{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{n}{n}})\left\}\right]$