2012　福岡教育大学　前期MathJax

(問1)　$X$が整数となる確率を求めよ．

(問2)　${\displaystyle \frac{1}{4}}<X<4$となる確率を求めよ．

(問3)　$X$の期待値を求めよ．

(問1)　$a=b$または$N=O$であることを示せ．

(問2)　$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，

${(S+N)}^n=S^n+n{S}^{n-1}N$

が成り立つことを示せ．

(問3)　$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，

${(S+SN+N)}^n=S^n+n{S}^{n}N+n{S}^{n-1}N$

が成り立つことを示せ．

(問4)　$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$のとき，$2$以上の自然数$n$に対して，${(S+SN+N)}^n$を求めよ．

(問1)　無限級数

$1+{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{(1+e^x)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{(1+e^x)}^n}}+\cdots$

はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(問2)　(問1)で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．

(問1)　実数$a$は$0<a<5$を満たし，$x=a\cos \theta +5\text{，}y=2a\sin \theta$とする．実数$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$を動くとき，点$(x,y)$はどのような曲線を表すか．

(問2)　原点$(0,0)$を通り，(問1)で求めた曲線に接する直線の方程式と，接点の座標を求めよ．

(問3)　原点$(0,0)$と(問2)で求めた接点で作られる三角形の外心を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表せ．さらに，(問1)の曲線が$\mathrm{C}$を通るように$a$の値を定めよ．

(問1)　無限級数

$1+{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{(1+e^x)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{(1+e^x)}^n}}+\cdots$

はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(問2)　(問1)で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式

$\log f(x)=-\left|x\right|+\log 6$

を解け．ただし，対数は自然対数とする．