2012　九州大学　前期MathJax

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,2)\text{，}\mathrm{C}(-2,1,3)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle B$は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より大きいことを示せ．

(2)　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OAH}$の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$t\geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．

(2)　(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれ$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}\mathrm{Q}(q,f(q))$とする（ただし$p<q$）．このとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{A}(-1,0)$に関して対称の位置にあることを示せ．

(3)　$t\geqq 0$のとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標$p\text{，}q$もそれぞれ求めよ．

【３】　$100$人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が$7$枚入った$480$円のセット$\mathrm{A}$と，乗車券が$3$枚入った$220$円のセット$\mathrm{B}$を購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．

(1)　$x$が$0$以上の整数であるとき，次のことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{3}}(100-7x)$は，$x$を$3$で割ったときの余りが$1$の場合に整数であり，それ以外の場合は整数ではない．

(2)　購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セット$\mathrm{A}$とセット$\mathrm{B}$の購入の仕方をすべて挙げよ．

(3)　購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，$\mathrm{A}$のみ，あるいは$\mathrm{B}$のみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をそれぞれ何セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．

【４】　いくつかの玉が入った箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$があるとき，次の試行$\mathrm{T}$を考える．

(試行$\mathrm{T}$)　箱$\mathrm{A}$から$2$個の玉を取り出して箱$\mathrm{B}$に入れ，その後，箱$\mathrm{B}$から$2$個の玉を取り出して箱$\mathrm{A}$に入れる．

最初に箱$\mathrm{A}$に黒玉が$3$個，箱$\mathrm{B}$に白玉が$2$個入っているとき，以下の問いに答えよ．

(1)　試行$\mathrm{T}$を$1$回行ったときに，箱$\mathrm{A}$に黒玉が$n$個入っている確率$p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$を求めて既約分数で表せ．

(2)　試行$\mathrm{T}$を$2$回行ったときに，箱$\mathrm{A}$に黒玉が$n$個入っている確率$q_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$を求めて既約分数で表せ．

(3)　試行$\mathrm{T}$を$3$回行ったときに，箱$\mathrm{A}$の中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．

【１】　円$x^2+{(y-1)}^2=4$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$はそれぞれ

$A\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}7\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ -11\end{array}\right)$，

$B\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\end{array}\right)\text{，}B\left(\begin{array}{c}8\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\end{array}\right)$

をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列を表すものとする．

(1)　行列$A\text{，}B\text{，}{A}^2\text{，}{B}^2$を求めよ．

(2)　${(AB)}^3=E$であることを示せ．

(3)　行列$A$から初めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列

$A\text{，}AB\text{，}ABA\text{，}ABAB\text{，}\cdots \text{，}$

および行列$B$から初めて，$\mathrm{A}$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列

$B\text{，}BA\text{，}BAB\text{，}BABA\text{，}\cdots$

を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．

【３】　実数$a$と自然数$n$に対して，$x$の方程式

$a(x^2+|x+1|+n-1)=\sqrt{n}(x+1)$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　この方程式が実数解を持つような$a$の範囲を，$n$を用いて表せ．

(2)　この方程式が，すべての自然数$n$に対して実数解を持つような$a$の範囲を求めよ．

【４】　$p$と$q$はともに整数であるとする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$が実数解$\alpha \text{，}\beta$を持ち，条件$(|\alpha |-1)(|\beta |-1)\ne 0$をみたしているとする．このとき，数列$\{a_n\}$を

$a_n=({\alpha }^n-1)({\beta }^n-1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$は整数であることを示せ．

(2)　$(|\alpha |-1)(|\beta |-1)>0$のとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|$は整数であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．