2012　九州工業大学　後期MathJax

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工学部

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【１】　 $0$ から $4$ までの数字が $1$ つずつ記入された $5$ 枚のカードがある．この中から $1$ 枚ずつ $2$ 枚のカードを取り出し数字を調べる．取り出したカードは元に戻さない．調べた数字を取り出した順に $a ， b$ とし，連立不等式

${\begin{cases} y ≧ x^{2} - a \\ y ≦ x + b \end{cases}$

の表す領域 $D$ に含まれる格子点の個数を $m$ とする．ただし，座標平面上で $x ， y$ 座標がともに整数である点を格子点という．次に答えよ．

(ⅰ)　 $a = 0 ， b = 2$ のとき， $m$ の値を求めよ．

(ⅱ)　 $m = 8$ となる確率を求めよ．

(ⅲ)　 $m$ の期待値を求めよ．

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【２】　 $t$ を実数とする．行列 $M = \frac{1}{t^{2} + 1} (\begin{matrix} 1 - t^{2} & 2 t \\ 2 t & t^{2} - 1 \end{matrix})$ の表す $1$ 次変換により，座標平面上の原点 $O$ とは異なる点 $A (p, q)$ が点 $B (u, v)$ に移される．また $S$ を以下のように定める．

${\begin{cases} 点 O ， A ， B が一直線上にあるとき， S = 0 とする \\ 点 O ， A ， B が一直線上にないとき， S を ▵ OAB の面積とする \end{cases}$

次に答えよ．

(ⅰ)　線分 $OB$ の長さを $p ， q$ を用いて表せ．

(ⅱ)　 $S = 0$ となるための必要十分条件を $t ， p ， q$ を用いて表せ．

(ⅲ)　 $q = p$ のとき， $S = \frac{3}{5} p^{2}$ となる $t$ の値を求めよ．

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【３】　 $\frac{π}{4} < t < π$ とする．曲線 $C_{1} : y = \sin x$ 上に点 $P (t, \sin t)$ があり，曲線 $C_{2} : y = \cos x$ 上に点 $Q (t + π, \cos (t + π))$ がある．曲線 $C_{1}$ の点 $P$ における接線を $l_{1}$ とし，曲線 $C_{2}$ の点 $Q$ における接線を $l_{2}$ とするとき，次に答えよ．

(ⅰ)　接線 $l_{1}$ および接線 $l_{2}$ の方程式をそれぞれ $t$ を用いて表せ．

(ⅱ)　接線 $l_{1}$ と接線 $l_{2}$ の交点の $y$ 座標を $f (t)$ とする． $f (t)$ を求めよ．

(ⅲ)　 $t$ の値が変化するとき，(ⅱ)で求めた $f (t)$ の最小値を求めよ．

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【４】　関数 $f (x) = e^{(- x^{2})}$ と曲線 $C : y = f (x)$ について，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し， $e$ は自然対数の底とする．

(ⅰ)　不定積分 $\int \log x d x$ を求めよ．

(ⅱ)　関数 $f (x)$ について増減，凹凸を調べ，曲線 $C$ の概形をかけ．

(ⅲ)　曲線 $C$ と $x$ 軸および $2$ 直線 $x = p ， x = p + 1 （ p > 0 ）$ で囲まれる部分を $y$ 軸まわりに $1$ 回転してできる図形の体積 $V (p)$ を求めよ．さらに， $\lim_{p \to \infty} \frac{V (p)}{f (p)}$ を求めよ．

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【１】　座標平面上に $2$ つの曲線 $C_{1} : y = \log x ， C_{2} : y = 2 \log x$ がある．ただし，対数は自然対数とし，自然対数の底を $e$ とする．また， $2 < e < 3$ である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線 $C_{1}$ 上の点 $(a, \log a)$ における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線 $C_{1}$ 上の点 $(a, \log a)$ における接線が，点 $(b, 2 \log b)$ において曲線 $C_{2}$ にも接するとき， $a ， b$ の値，および，この共通の接線 $l$ の方程式を求めよ．

(ⅲ)　 $2$ つの曲線 $C_{1} ， C_{2}$ と(ⅱ)で求めた共通の接線 $l$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

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【２】　行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ は $a > 0 ， c > 0 ， d > 0$ をみたすものとする．また， $O$ を原点とする座標平面上に曲線 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ と $3$ 点 $P (1, 0) ， Q (0, 1) ， R (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ があり，行列 $A$ が表す移動により，点 $P ， Q ， R$ がそれぞれ点 $P^{'} ， Q^{'} ， R^{'}$ に移るとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点 $P^{'}$ が曲線 $C$ 上にあるとき， $a ， b$ がみたす関係式を求めよ．

(ⅱ)　点 $Q^{'}$ が曲線 $C$ 上にあるとき， $b ， d$ がみたす関係式を求めよ．

(ⅲ)　点 $R^{'}$ が曲線 $C$ 上にあるとき， $a ， b ， c ， d$ がみたす関係式を求めよ．

(ⅳ)　 $a ， b ， c ， d$ が(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)で求めた関係式をすべてみたすとき， $b ， c ， d$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ．

(ⅴ)　 $a ， b ， c ， d$ が(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)で求めた関係式をすべてみたし， $\vec{O R^{'}}$ と $\vec{P^{'} Q^{'}}$ が垂直となるときの行列 $A$ を求めよ．

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【３】　次の連立不等式が表す座標平面上の領域を $R$ とする．

${\begin{cases} x + y - 1 ≦ 0 \\ x - y - 1 ≦ 0 \\ 2 x - y + 1 ≧ 0 \\ 3 x + y + \frac{3}{2} ≧ 0 \end{cases}$

また， $4$ つの直線を

$l_{1} : x + y - 1 = 0 ， l_{2} : x - y - 1 = 0 ， l_{3} : 2 x - y + 1 = 0 ， l_{4} : 3 x + y + \frac{3}{2} = 0$

と定める．さらに，点 $P (a, 0)$ を中心とし直線 $l_{1}$ と接する円を $C$ とし，このときの $l_{1}$ との接点を点 $Q$ とする．ただし， $- \frac{1}{2} < a < 1$ をみたすものとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　領域 $R$ を図示せよ．

(ⅱ)　点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ．

(ⅲ)　点 $P$ と直線 $l_{3}$ の距離を $d_{3}$ とし，点 $P$ と直線 $l_{4}$ の距離を $d_{4}$ とするとき， $\frac{d_{4}}{d_{3}}$ の値を求めよ．

(ⅳ)　円 $C$ が領域 $R$ に含まれるとき，円 $C$ の半径が最大となる $a$ の値を求めよ．

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【４】　白いカード $n$ 枚と黒いカード $m$ 枚からなる計 $n + m$ 枚を横一列に並べるときの並べ方の総数を $A (n, m)$ とし，そのうちの黒いカードが隣り合わない並べ方の総数を $B (n, m)$ とする．ただし，同色のカードは区別できないものとし， $2 ≦ m ≦ n + 1$ をみたすものとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $A (n, m)$ を $n ， m$ を用いて表せ．

(ⅱ)　 $B (3, m) = 1$ をみたす整数 $m$ を求めよ．

(ⅲ)　 $B (n, 2)$ を $n$ を用いて表せ．

(ⅳ)　 $B (n, m)$ を $n ， m$ を用いて表せ．

(ⅴ)　白いカードの枚数を $n = 12$ とし，これに $m$ 枚の黒いカードを加えた計 $n + m$ 枚を無作為に横一列に並べるとき，黒いカードが隣り合わない確率を $P_{m}$ とする． $P_{m} ≧ 2 P_{m + 1} （ 2 ≦ m ≦ 12 ）$ をみたす最小の整数 $m$ とそのときの $P_{m}$ をそれぞれ求めよ．

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