2012　佐賀大学　前期MathJax

【１】　座標空間内で，原点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2,0)\text{，}\mathrm{C}(c_1,c_2,c_3)$を頂点とする正四面体を考える．ただし，$b_2$と$c_3$は正とする．次の問いに答えよ．

(1)　$b_1\text{，}{b}_2$および$c_1\text{，}{c}_2\text{，}{c}_3$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

(3)　$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{BC}$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとする．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．ただし，$a\geqq b$および$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{A}}_1$とする．また点${\mathrm{A}}_1$を通って辺$\mathrm{AB}$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}$との交点を${\mathrm{B}}_1$とする．次に点${\mathrm{B}}_1$から辺${\mathrm{OA}}_1$に下ろした垂線の足を${\mathrm{A}}_2$とし，点${\mathrm{A}}_2$を通って辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$に平行な直線と，辺${\mathrm{OB}}_1$との交点を${\mathrm{B}}_2$とする．以下，この操作を続け，三角形の列

$▵{\mathrm{OA}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}▵{\mathrm{OA}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}▵{\mathrm{OA}}_n{\mathrm{B}}_n$

をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵{\mathrm{OA}}_n{\mathrm{B}}_n$は，$▵\mathrm{OAB}$に相似であることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n}{{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{B}}_{n-1}}}$を$a\text{，}b\text{，}\theta$の式で表せ．

(3)　$▵{\mathrm{OA}}_k{\mathrm{B}}_k$の面積を$S_k$とする．$a=2\text{，}b=1\text{，}\theta =30\mathrm{°}$のとき，

$S_1+S_2+\cdots +S_n$

を$n$の式で表せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式

${\log }_{x(1-x)}\{x(y-1)\}\leqq 0$

の表す領域を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が上の不等式の表す領域を動くとき，$2x+y$の最小値を求めよ．

【４】　$a>0$のとき，放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$における$C$の接線を$l_1$とし，$\mathrm{P}$を通り$l_1$と垂直な直線を$l_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．

(2)　放物線$C$と直線$l_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．

(3)　(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$0$以上の整数$n$に対して，$f_n(x)={\displaystyle \frac{x^n{e}^{-x}}{n!}}$とおく．ただし，$0!=1$とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 1$のとき，$f_n(x)$の導関数を$f_n(x)\text{，}{f}_{n-1}(x)$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{f}_k(x)$の導関数を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)dx$を求めよ．

(4)　$e>{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}$を示せ．

【３】　関数

$f(x)=2\sin x\cos x-\tan x+2x$

について，次の問いに答えよ．

(1)　区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【４】　サイコロを$4$回投げて，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$回目に出た目をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とするとき，行列$A$を

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -c& -d\end{array}\right)$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$A^2-(a-d)A-(ad-bc)E=O$を示せ．ただし，$E\text{，}O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，$A^n=O$が成り立つための必要十分条件は，$ad=bc$および$a=d$が成り立つことである．これを示せ．

(3)　$n$を$2$以上の自然数とする．$A^n=O$となる確率を求めよ．

【２】　正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．すべての自然数$n$に対して，

${\displaystyle \frac{a_n+3}{2}}=\sqrt{3S_n}$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．

(3)　$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．

【４】　$2$次関数$f(x)\text{，}g(x)$は，それぞれ

$f(x)={\displaystyle \frac{3x^2}{16}}{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt-{\displaystyle \frac{3x}{7}}{\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(t)dt+7\text{，}$

$(x-1)g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+2x^2-2x+1$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　放物線$y=f(x)$の点$(4,f(4))$における接線を$l$とする．直線$l$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．