2012　佐賀大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{T}_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{S_n{S}_{n+1}{S}_{n+2}}}$

とする．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{T}_k$を，$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_{n+1}\text{，}{S}_{n+2}$を用いて表せ．

(2)

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2(k+1){(k+2)}^2}}$

を$n$の式で表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$のとき，方程式

$\sin 2\theta +\cos 2\theta +2\cos \theta =-1$

を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．

(2)　(1)の$\theta$が，自然数$m\text{，}n$を用いて$\theta ={\left({\displaystyle \frac{m^n}{10}}\right)}^{\mathrm{°}}$と表されているとする．このような$m\text{，}n$の組をすべて求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)

${\displaystyle \frac{1+{\log }_{4}a}{{\log }_4(a+2b)}}+{\log }_{a+2b}({\displaystyle \frac{2}{a}}+b)\geqq 2$

を満たす自然数$a\text{，}b$の組をすべて求めよ．

(2)　サイコロを$3$回投げて，出た目の数を順番に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$とする．$X_1\geqq X_2$のとき$a=X_2$とし，$X_1<X_2$のとき$a=X_1$とする．また$b=X_3$とする．$a\text{，}b$が

${\displaystyle \frac{1+{\log }_{4}a}{{\log }_4(a+2b)}}+{\log }_{a+2b}({\displaystyle \frac{2}{a}}+b)<2$

を満たす確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は

$f(x)=4|x^2-x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt|$

を満たすとする．$a={\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq 1$のとき，$a$を求めよ．

(2)　$a<1$のとき，$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．