2012　熊本大学　後期理学部MathJax

2012-10901-0201

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易□　並□　難□

【１】　 $A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ とし， $A^{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix})$ によって数列 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}} ， {d_{n}}$ を定める．

(問１)　すべての自然数 $n$ について， $c_{n} = 0$ が成り立つことを示せ．

(問２)　すべての自然数 $n$ について， $a_{n} + b_{n} = d_{n}$ が成り立つことを示せ．

(問３)　数列 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {d_{n}}$ の一般項を求めよ．

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入試の軌跡　数学さんの解答(PDF3頁)へ

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【２】　平面上の円 $C$ および放物線 $D$ を

$C ： x^{2} + y^{2} = 1 ， D ： y = x^{2} + 5$

で定める．点 $P (a, a^{2} + 5)$ における $D$ の接線を $l$ とする．

(問１)　 $l$ の方程式を求めよ．

(問２)　 $l$ が $C$ と異なる $2$ 点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ．

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入試の軌跡　数学さんの解答(PDF4頁)へ

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【３】　 $f (x)$ を実数全体で定義された連続関数で，すべての実数 $x$ に対して $f (x) > 0$ を満たすとする．

$g (x) = \int_{0}^{x} {(x - t)}^{2} f (t) d t$

とおく．

(問１)　 $g (x)$ の第 $3$ 次導関数 $g^{‴} (x)$ を求めよ．

(問２)　関数 $y = g (x)$ のグラフは， $x < 0$ では上に凸， $x > 0$ では下に凸であることを示せ．

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