2012　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．

【２】　平面上に互いに異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，それらは同一直線上にはないものとする．$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \mathrm{AOB}$と$\mathrm{OC}$を求めよ．

【３-１】　$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．

(2)　$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．

(3)　$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．

(4)　$x\geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．

【３-２】　$e$を自然対数の底とし，$\log x$を自然対数とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$を$p>0\text{，}q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p\log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p\text{，}q$を使って表せ．

(2)　$2$つの曲線$y=\log x\text{，}y=3\log x$と$2$つの直線$x=e\text{，}x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(3)　(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^n{e}^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．

(2)　自然数$n$に対して$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{1-x}dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　(2)の$I_n$に対して$a_n={\displaystyle \frac{I_n}{n!}}$とおくとき，${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}=a_1-a_n$であることを示せ．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=e-1$であることを示せ．

【５-１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 4\end{array}\right)$と自然数$n$について，次の各問いに答えよ．

(1)　次の等式を満たす$\alpha \text{，}\beta \text{，}p\text{，}q$を求めよ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

$A\left(\begin{array}{c}p\\ 1\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}p\\ 1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}q\\ 1\end{array}\right)=\beta \left(\begin{array}{c}q\\ 1\end{array}\right)$

(2)　(1)で求めた$p$に対して$A^n\left(\begin{array}{c}p\\ 1\end{array}\right)$を求めよ．

(3)　$A^n$を求めよ．

【５-２】　極方程式$r={\displaystyle \frac{a}{2+\cos \theta }}$で与えられる$2$次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)　この$2$次曲線を直交座標$(x,y)$に関する方程式で表せ．

(2)　(1)で求めた$2$次曲線を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{a}{3}}$だけ平行移動した$2$次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x\text{，}y$の方程式で表せ．また，この$2$次曲線$C$は$x$軸と$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で交わる．この$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{B}$の$x$座標は正とする．

(3)　(2)で求めた$2$次曲線$C$上の$x$軸上にない点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$から軸に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．さらに$\mathrm{P}$と$x$軸に関して対称な点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の値は定数であることを証明せよ．

${\displaystyle \frac{\mathrm{PH}\cdot \mathrm{QH}}{\mathrm{AH}\cdot \mathrm{BH}}}$

【５-３】　$1$個買うごとに景品を$1$個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ$1$から$n$までの番号がつけてある．また，$1$から$n$までの数字が$1$つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品$1$個ごとに箱の中から$1$枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　この商品を$m$個購入したとき，番号$1$の景品が少なくとも$1$個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．

(2)　この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．

(3)　この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．

【５-４】　確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，

$P(Z>1.96)=0.025\text{，}P(Z>2.58)=0.005\text{，}{\displaystyle \frac{2.58}{1.96}}\fallingdotseq 1.32$

であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)　確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1\leqq x\leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．

(2)　母平均$m\text{，}$母標準偏差$10$の母集団から大きさ$100$の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\bar{X}$とする．標本の大きさ$100$は十分大きい数であるとみなせるとする．

(a)　標本平均$\bar{X}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めよ．

(b)　母平均$m$を信頼度$99\mathrm{\%}$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．