2012　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$a$と$b$を正の実数とするとき，不等式$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは，どのようなときか．

問２　$p$と$q$を$1$より大きい実数とするとき，${\log }_{p}q+4{\log }_{q}p$の最小値を求めよ．また，その最小値をとるのは，$p$と$q$がどのような関係をみたすときか．

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　$|x+y+1|\leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．

問２　方程式$y=(-1+{\displaystyle \frac{1}{a}})x$で与えられる直線$l$と，問１で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$l$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

【３】　関数$f(x)=x^2-x-2$によって，方程式$y=f(x)$と表される放物線$P$について，以下の問いに答えよ．

問１　放物線$P$上の点$(0,-2)$における，放物線$P$の接線の方程式を求めよ．

問２　放物線$P$を，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ．

問３　問１で求めた接線と，問２で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}$点$\mathrm{Q}(0,1)\text{，}$点$\mathrm{R}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$をとる．以下の問いに答えよ．

問１　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．

問２　問１で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}\text{，}$線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

問３　問２で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi >3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

【２】　第$1$象限において，方程式$x^2+y^2=1$で与えられる図形を$C$で表す．方程式${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$で与えられる直線を$l$で表す．ただし，$a$と$b$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

問１　$b<1$のとき，図形$C$と直線$l$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．

問２　$b>1$のとき，図形$C$と直線$l$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$2$つの行列$M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$と$N=\left(\begin{array}{cc}p& r\\ q& s\end{array}\right)$が，

$M\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)N=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

を満たすのは，$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$の間にどのような関係が成り立つときか．

問２　行列$M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$が，問１で求めた関係をみたしているとする．行列$M$の表す$1$次変換による，点$\mathrm{A}(q,-p)$の像を点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{B}(s,-r)$の像を点$\mathrm{D}$とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$とするとき，三角形$\mathrm{OCD}$の面積を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において扇形$\mathrm{OAB}$を考える．ただし，点$\mathrm{A}$は$(1,0)$であり，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．扇形$\mathrm{OAB}$の中心角は，$x$ラジアン$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$であるとする．点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$におろした垂線を$\mathrm{BC}\text{，}$点$\mathrm{A}$における円の接線が，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と交わる点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　三角形$\mathrm{ODA}\text{，}$三角形$\mathrm{OAB}\text{，}$扇形$\mathrm{OAB}$の面積を，$x$を用いてそれぞれ表せ．

問２　不等式$\cos x<{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}<1$が成り立つことを示せ．

問３　$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$を示せ．ただし，$x\to +0$は，$x$が正の値を取りながら限りなく$0$に近くことを表す．