2012　公立はこだて未来大学　AOMathJax

【１】　面積が一定値$S$の長方形について，周囲の長さの最小値を求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=-2x^2+4x$と，$1$次関数$g(x)=x+1$を考える．$y=f(x)$で与えられる放物線を$C$と表し，$y=g(x)$で与えられる直線を$l$と表すとき，以下の問いに答えよ．

問１　放物線$C$と直線$l$の$2$つの交点を求めよ．

問２　放物線$C$と直線$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　$x$についての多項式$A=x^4-b{x}^3+(2-a)x^2-2ax+a-b$に関して，以下の問いに答えよ．ただし，$a$と$b$は実数とする．

問１　多項式$A$を多項式$x^2+2$で割ったときの商と余りを求めよ．

問２　$a$と$b$が不等式$a^2+b^2\leqq 10\text{，}b\geqq 0$をみたすとき，問１で求めた余りの最大値と最小値を求めよ．

【４】　$1$歩で$1$段，$1$歩で$2$段という$2$通りの歩幅を組み合わせて，階段をちょうど$6$段登ることを考える．以下の問いに答えよ．

問１　$1$歩で$1$段の歩幅を$2$回，$1$ほで$2$段の歩幅を$2$回使う登り方は何通りあるか．

問２　$a$と$b$を正の整数とするとき，$a+2b=6$をみたす$a$と$b$の組は，全部でいくつあるか．

問３　$2$通りの歩幅を組み合わせて，ちょうど$6$段登る登り方は全部で何通りあるか．ただし，$2$通りの歩幅を両方とも使うこと．