2012　岩手県立大学　前期MathJax

【２】　以下の問いに答えなさい．

　右図のような直方体があり，$\mathrm{DF}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{BF}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{CG}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．

[問１]　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$を答えなさい．

[問２]　$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OF}}\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{，}0\leqq t\leqq 1\text{）}$によって定まる点$\mathrm{Z}$が描く図形を図示しなさい．ただし，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$がその図形に含まれる場合は，それがわかるように図示しなさい．

[問３]　$m:n=1:1\text{，}\left|\overrightarrow{d}\right|=2\sqrt{2}$のとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積を，$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$\left|\overrightarrow{b}\right|$を用いて答えなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

　中の見えない箱の中に「$1$」と書かれているカードが$2$枚，「$2$」と書かれているカードが$1$枚，何も書かれていないカードが$3$枚入っている．このカードを$1$枚取り出して箱の中に戻す行為を$n$回繰り返すこととする．

[問１]　$n=4$のとき，数字の書かれているカードが少なくとも$1$回取り出される確率を答えなさい．

[問２]　$n=4$のとき，「$1$」「$2$」と書かれているカードがそれぞれ$1$回以上取り出される確率を答えなさい．

[問３]　$n=6$のとき，数字の書かれているカードが$3$回以上連続で取り出される確率を答えなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

　$2$次関数$y=x^2+2x-3$と，直線$y=ax\text{（}1\leqq a\leqq 5\text{）}$との交点をそれぞれ ，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．ただし，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q\text{（}p<q\text{）}$とする．

[問１]　$a=2$であるとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標，および$2$次関数と直線で囲まれた図形の面積をそれぞれ答えなさい．

[問２]　$p\text{，}q$を$a$を用いて表しなさい．

[問３]　$2$次関数と直線で囲まれた図形の面積を$p\text{，}q$を用いて表しなさい．

[問４]　$2$次関数と直線で囲まれた図形の面積が最大になる時の$a$の値をその時の面積，および面積が最小になる時の$a$の値とその時の面積をそれぞれ答えなさい．