2012　岩手県立大学　後期MathJax

【２】　以下の問いに答えなさい．

　$S(a)$を以下のように定義する．

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-(2a+1)x+a^2+a|dx$

[設問１]　$0<a<1$のとき，関数$f(x)=|x^2-(2a+1)x+a^2+a|$のグラフを描きなさい．また，$S(a)$で求められる面積の領域をグラフ中に斜線で示しなさい．

[設問２]　$0<a<1$のとき，$S(a)$を$a$の式で表しなさい．

[設問３]　$0\leqq a\leqq 1$のとき，$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を，それぞれ答えなさい．

【３】　全体集合$\mathrm{U}$とその部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をそれぞれ以下のように定義する．

$\mathrm{U}=\{x|x\text{は}20\text{から}100\text{までの自然数}\}$

$\mathrm{A}=\{x|x\text{は}6\text{の倍数かつ}x\in \mathrm{U}\}$

$\mathrm{B}=\{x|x\text{は}9\text{の倍数かつ}x\in \mathrm{U}\}$

$\mathrm{C}=\{x|x\text{は}m\text{の倍数かつ}x\in \mathrm{U}\}$

なお，$m$を自然数とし，集合$\mathrm{X}$における表その個数を$n(\mathrm{X})$で表すこととする．

[設問１]　$n(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})$を答えなさい．

[設問２]　$n(\mathrm{C}\cap \mathrm{B})=0$かつ$n(\mathrm{C}\cap \mathrm{A})=2$を満たす$m$の値をすべて求めなさい．

[設問３]　[設問２]で求めた各$m$に対する$\mathrm{C}$について，ベン図を用いて$\mathrm{A}\cap \bar{\mathrm{B}}\cap \bar{\mathrm{C}}$の領域をそれぞれ図示しなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

　$P(x)$を$3$次の整式$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は定数）とする．$P(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ると$6x-2$余り，$(x+1)(x-2)$で割ると$-2x+14$余る．

[設問１]　$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割った余りを答えなさい．

[設問２]　$P(x)$を$(x-1)(x-2)$で割った商を$ax+e$としたとき，$P(x)$を$a\text{，}e$を用いて答えなさい．また，$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割った商を$ax+f$としたとき，$P(x)$を$a\text{，}f$を用いて答えなさい．

[設問３]　$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りが$2x+62$のとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$それぞれの値を答えなさい．

【５】　次の文章を読み，あとの設問に答えなさい．

　コンピュータの画面上に描かれる絵や文字は，実際には，小さなマス目のいくつかを塗りつぶすことで表現されている．例えば図１の左のような画面上の直線を虫眼鏡などで拡大すると図１の右のようにマス目が塗りつぶされていることが確認できる．

　ここでは，塗りつぶされたマス目を点とよび，始点と終点の座標を入力したときに，直線となるようにマス目を塗りつぶしていく処理手順について考えてみよう．

　マス目の横方向を$x$軸，縦方向を$y$軸として，図２のように座標を決めることにする．例えば，点$\mathrm{A}$は座標$(0,0)$を塗りつぶすことで表され，点$\mathrm{B}$は座標$(5,8)$を塗りつぶすことで表される．

　始点の座標を$(a,b)\text{，}$終点の座標を$(c,d)$とする直線（ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$0$以上の整数，また$a<c\text{，}b<d$とする）は次のようにして表される．$xy$平面上の$2$点$(a,b)$と$(c,d)$を通る直線の方程式$(x-a)(d-b)=(y-b)(c-a)$すなわち$y=f(x)={\displaystyle \frac{d-b}{c-a}}(x-a)+b$に基づき，$x$の値を$a$から$c$まで$1$刻みで増やしながら，$y$の値をそれぞれ計算し，これに相当する座標を，順次，塗りつぶす．ただし，$y$の値が小数になったときには小数点以下を切り捨てることとする．

　この処理手順を，図４に示す記号を用いてフローチャート（流れ図）として表現したものが図３である．

[設問１]　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$として$0\text{，}2\text{，}6\text{，}5$をそれぞれ入力した場合，図３における$\text{①}$の処理が何回実行されるか，答えなさい．

[設問２]　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$として，$3\text{，}0\text{，}7\text{，}9$をそれぞれ入力した結果について，マス目を塗りつぶして答えなさい．

[設問３]　図３の処理手順には，直線の傾きが一定の条件の場合に，塗りつぶすマス目が離れてしまい不連続な直線ができる，という問題点がある．この問題が発生する条件を答えるとともに，その解決策について述べなさい．