2012　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$2$つの曲線

$C\text{：}y=x^3+a{x}^2$と$D\text{：}y=a{(x-b)}^2\text{（}ab\ne 0\text{）}$

について，点$\mathrm{P}$を$C$と$D$の交点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．

　$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式は

$y=(\boxed{\text{ア}})x+\boxed{\text{イ}}$

で，$\mathrm{P}$における$D$の接線の方程式は

$y=(\boxed{\text{ウ}})x+\boxed{\text{エ}}$

である．

　また，$C$と$D$が$\mathrm{P}$で接するとき，$b\text{，}p$を$a$を用いて表せば，

$b=\boxed{\text{オ}}\text{，}p=\boxed{\text{カ}}$

となる．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{サ}}$から$\boxed{\text{ニ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$x$が範囲$0\leqq x<2\pi$を動くとき，$x$の関数$f(x)=2\sin x+\cos 2x+1$を考える．

　$X=\sin x$とおき，$f(x)$を$X$の関数と見て$g(X)$と書くと，

$g(X)=\boxed{\text{サ}}{X}^2+\boxed{\text{シ}}X+\boxed{\text{ス}}$

と書ける．

　$x$は$0\leqq x<2\pi$を動くから，$X$は$\boxed{\text{セ}}\leqq X\leqq \boxed{\text{ソ}}$を動くが，この範囲では，グラフの形より，$g(X)$は$X=\boxed{\text{タ}}$のとき最小値$\boxed{\text{チ}}$をとり，$X=\boxed{\text{ツ}}$のとき最大値$\boxed{\text{テ}}$をとる．

　したがって，$f(x)=2\sin x+\cos 2x+1$は$x=\boxed{\text{ト}}$のとき最小値$\boxed{\text{チ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ナ}}$または$\boxed{\text{ニ}}$のとき最大値$\boxed{\text{テ}}$をとる．

【３】　次の空欄$\boxed{\text{ハ}}$から$\boxed{\text{マ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点

$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{a}},0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,{\displaystyle \frac{1}{b}},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,{\displaystyle \frac{1}{c}})$

（$a\text{，}b\text{，}c>0$）をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+u\overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t\text{，}u$は定数）とおく．

　このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{ハ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ヒ}}$

となる．

　したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は

$(\boxed{\text{フ}},\boxed{\text{ヘ}},\boxed{\text{ホ}})$

となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{マ}}$となる．

【４】　数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)　$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．

(2)　$\mathrm{P}$が位置する可能性がもっとも高い点を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．