2012　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　半径$R$の円に内接する$▵\mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{B}=\beta$とする．$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$を$R$と$\alpha \text{，}\beta$で表せば，

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\mathrm{AC}=\boxed{\text{イ}}$

であるから，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$R$と$\alpha \text{，}\beta$で表せば，$S=\boxed{\text{ウ}}$となる．

　とくに，$\beta =30\mathrm{°}$であるとき，$S$を$R$と$\sin 2\alpha \text{，}\cos 2\alpha$で表せば，

$S=\boxed{\text{エ}}$

となる．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{カ}}$から$\boxed{\text{サ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$2$つの数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$と$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}\cdots \text{，}{b}_n\text{，}\cdots$に関する漸化式

$\{\begin{array}{lll}{a}_{n+1}=a_n+4b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}& \cdots \text{①}\\ b_{n+1}=2a_n+3b_n& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

　$\text{①}$と$\text{②}$より，

$a_{n+1}+k{b}_{n+1}=l(a_n+k{b}_n)\cdots \text{③}$

（$k\text{，}l$は定数，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）の形となるような$k$と$l$の組を求めると，

$(k,l)=(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$

および

$(k,l)=(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$

の$2$組が見つかる．これらを$\text{③}$に代入すると，$2$つの等比数列ができる．そこで，$a_1=1\text{，}{b}_1=0$であるとすると，

$a_n=\boxed{\text{コ}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{サ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．

【３】　次の空欄$\boxed{\text{タ}}$から$\boxed{\text{ヌ}}$にあてはまる数を，解答欄に書きなさい．

(1)　平面上の縦も横も$2$の$4$個のマス目に$1$から$4$の数が書き込まれている．

　このマス目のすべてに，縦にも横にも同じ色が隣にこないように，赤または黒のどちらかの色をぬる．このようなぬり方は全部で$\boxed{\text{タ}}$通りある．またこのマス目すべてに，縦にも横にも斜めにも同じ色が隣にこないように色をぬるためには，少なくとも$\boxed{\text{チ}}$種類の色が必要である．

(2)　正$6$面体のサイコロの$6$つの面に色をぬることを考える．

　辺をはさんで隣り合う$2$つの面に同じ色がこないように色をぬるためには，少なくとも$\boxed{\text{ツ}}$種類の色が必要である．また，この場合に必要となる最小の数の色を選び，それらの色を使ってサイコロをぬるとき，このようなぬり方は全部で$\boxed{\text{テ}}$通りある．

(3)　正$8$面体（図１）の各面に$1$から$8$の数字が書かれたサイコロがある（図２）．このサイコロの$8$つの面に色をぬることを考える．

　辺をはさんで隣り合う$2$つの面に同じ色がこないように色をぬるためには，少なくとも$\boxed{\text{ト}}$種類の色が必要である．また，この場合に必要となる最小の数の色を選び，それらの色を使ってサイコロをぬるとき，このようなぬり方は全部で$\boxed{\text{ナ}}$通りある．

　辺または頂点をはさんで隣り合う$2$つの面に同じ色がこないように色をぬるためには，少なくとも$\boxed{\text{ニ}}$種類の色が必要である．また，この場合に必要となる最小の数の色を選び，それらの色を使ってサイコロをぬるとき，このようなぬり方は全部で$\boxed{\text{ヌ}}$通りある．

【４】　次の問いに答えなさい．

　$3$次曲線$D\text{：}y=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）を考える．

(1)　$D$は，$2$次曲線$E\text{：}y=x^2-1$と点$(1,0)$で接し，点$(-2,3)$を通るとする．$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　(1)の場合の$D\text{，}E$が囲む図形の面積を求めよ．必要なら，${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4$が$x^3$の原始関数となることを証明なしに使ってよい．