2012　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　直線$l\text{：}y=-2x{\log }_{2}a$と放物線$C\text{：}y=x^2+b^2$がある．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$b={\log }_{2}5$とする．$C$と$l$が接するとき，$a$の値を求め，$a<3$であることを示せ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

(2)　$C$と$l$が異なる$2$点で交わるとき，$a\text{，}b$の満たす条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

【２】　放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれる領域の面積$S$が$S={\displaystyle \frac{{(a-b)}^3}{6}}$で表されることを示せ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$S={\displaystyle \frac{4}{3}}$となるように放物線上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目がで泣ければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2\text{，}3\text{，}1$の潤で目が出れば$2+3+1=6$点，$2\text{，}4\text{，}3\text{，}2\text{，}6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目がで出て終了する確率を求めよ．

(2)　得点が$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$点である確率$P(1)\text{，}P(2)\text{，}P(3)\text{，}P(4)\text{，}P(5)$をそれぞれ求めよ．

(3)　得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

【４】　$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,2)\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{3},1)\text{，}\mathrm{C}(\sqrt{3},-1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}\text{，}\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BF}}\right|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．

(3)　$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,1)$が$-\sqrt{3}\leqq q\leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$▵\mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．

【２】　座標空間における点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2\sqrt{2},0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2\sqrt{2},1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{E}(2\sqrt{2},0,1)\text{，}$$\mathrm{F}(2\sqrt{2},1,1)\text{，}$$\mathrm{G}(0,1,1)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$について，直線$\mathrm{FG}$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$l$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta =15\mathrm{°}\text{，}\theta =30\mathrm{°}$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

【３】　$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,y)$を$\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}l$を$x\text{，}y$で表せ．

(2)　(1)の$k\text{，}l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k\overrightarrow{a})$へ移す変換を$f\text{，}$点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l\overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f\text{，}g$を表す行列$P\text{，}Q$を求めよ．

(3)　行列$PQ\text{，}QP\text{，}{P}^2\text{，}{Q}^2$を求めよ．

(4)　行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s\text{，}t$は実数とする

【４】　曲線$C\text{：}y=(\log x-2\log 2)\log x$について次の問いに答えよ．

(1)　関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．

(2)　変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．

(4)　曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　中心が$y$軸上にある半径$r_1$の円$C_1$が放物線$y=x^2$に$2$点で接している．$C_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は$y$軸上に中心を持ち，放物線$y=x^2$に接する半径$r_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の円で，$C_{n-1}$と図のように外接している．$r_1=1$とするとき，$r_n$を$n$の関数で表せ．

【２】　図のような縦横同数の格子のすべての格子点上に，白または黒の石を置く．縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を，異なっていれば点線を引き，実線の数を数える操作を行う．図１の実線の数は$2$本，図２では$5$本である．

(1)　$2\times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき，石の置き方にかかわらず，実線の数は偶数になることを示せ．

(2)　$3\times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき，実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ．ただし，(1)の結果を使ってもよい．

【３】　曲線$C_1:y^2=4x$と$C_2:x^2-y^2=-q$（ただし，$p>0\text{，}q>0$）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．また接点の座標を$p$を用いて表せ．

(2)　$\sqrt{x^2+q}+x=t$と置いたとき$x$を$t$で表せ．また不定積分$I={\displaystyle \int }\sqrt{x^2+q}dx$を$x$から$t$への置換積分により，$t$の関数として求めよ．

(3)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$p$で表せ．

【４】　一辺の長さが$a$の正八面体の体積と，この正八面体に内接する球，外接する球の半径を求めよ．