2012　名古屋市立大　後期経済学部

【１】　$4x^2+y^2=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$u=2x+y$の最小値，最大値を求めよ．

(2)　$xy$を$u$で表せ．

(3)　$8x^3+y^3+8xy$の最小値，最大値を求めよ．

【２】　自然数$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$に対して，集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\mathrm{A}=\{(k,l)|l=k-7\}\text{，}\mathrm{B}=\{(m,n)|2n=m+3\}$とする．${\displaystyle \frac{l}{k}}={\displaystyle \frac{n}{m}}$を満たす$(k,l,m,n)$の組をすべて求めよ．

【３】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の$5$個の数字を重複なく並べて$5$桁の自然数を作る．ただし，最上位（万の位）の数字が$0$であってはならない．この自然数の集合を$\mathrm{U}$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{U}$に含まれる奇数の個数を求めよ．

(2)　$\mathrm{U}$に含まれる奇数の平均を求めよ．

(3)　$\mathrm{U}$に含まれる偶数の平均と，(2)で求めた奇数の平均の大小関係を示せ．

【４】　数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められ，$a_n$の一の位の数字を$b_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4$を求めよ．また$b_{n+4}=b_n$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$a_n$が$50$桁の数で，$a_{n+1}$が$51$桁の数となるような自然数$n$を求めよ．また，そのときの$b_n$も求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．