2012　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　$a+b+c=2\text{，}ab+bx+ca=3\text{，}abc=2$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a^2+b^2+c^2$および$a^3+b^3+c^3$の値を求めよ．

(2)　$3$次方程式$x^3+A{x}^2+Bx+C=0$が$x=a\text{，}b\text{，}c$を解にもつとき，$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

(3)　$a^5+b^5+c^5$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さん，$\mathrm{D}$さん，$\mathrm{E}$さん，$\mathrm{F}$さんの$6$がそれぞれ$1\text{，}3\text{，}5\text{，}7$と書かれた$4$枚のカードを持ち，無作為に$1$枚カードを取り出し同時に出し合うゲームを行う．他の$5$人とは異なる数字のカードを出した人は，そのカードの数字を点数として得ることができる．次の問いに答えよ．

(1)　出された$6$枚のカードの数字の組み合わせは何通りあるか．

(2)　$1$回のゲームで，$6$人のうち少なくとも$1$人が得点する確率を求めよ．

(3)　同じルールで$2$回ゲームを行ったとき，$\mathrm{A}$さんが合計$7$点以上得点する確率を求めよ．ただし，ゲーム$1$回ごとに出されたカードは元に戻す．

【３】　図のように$xy$平面上に点$\mathrm{A}(a,0)$および点$\mathrm{B}(0,b)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1-t:t$の比に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0\leqq a\leqq 1\text{，}0\leqq b\leqq 1\text{，}0\leqq t\leqq 1$であり線分$\mathrm{AB}$の長さは常に$1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標を$a$と$t$で表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$が$0\leqq a\leqq 1$の範囲で動くとき，点$\mathrm{P}$はどのような曲線上を動くか．

(3)　(2)で求めた曲線上の点$\mathrm{P}$における接線が，直線$\mathrm{AB}$に一致するとき，$a$と$t$の関係を求めよ．

　また，この関係を満たしながら$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲で動くとき，接点はどのような曲線上を動くか．

(4)　(3)で求めた曲線と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(5)　$a$が$0\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{BP}$が通過する領域の面積を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の中点に固定されているものとする．