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2012-11521-0101
2012 滋賀県立大学 前期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】 y=x⁢ (x- 2⁢a ) ( a>0 ) で表される放物線 C がある. C の頂点 P を通る y 軸に平行な直線と, x 軸との交点を Q とする.また, C 上を原点 O から P まで動く点を R とし, R を通り x 軸に平行な直線と線分 PQ との交点を H とする.
(1) 線分 OQ , 線分 PQ および C で囲まれた領域の面積 S を a を用いて表せ.
(2) 線分 OR と C で囲まれた領域の面積と,線分 RH , 線分 PH および C で囲まれた領域の面積との和を T とするとき, T を最小にする R の座標と T の最小値を a を用いて表せ.
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【2】 a1 =1 ,a n+1 = an2 +an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) で定まる数列 { an } を考える.
(1) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(2) ∑k =1n k⁢ak 1+ ak を n の式で表せ.
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【3】 直方体 OADB ‐CEGF において, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とし,直線 OG と平面 DEF の交点を P とする.
(1) OG→ を a→ , b→ ,c → を用いて表せ.
(2) OP→ を a→ , b→ ,c → を用いて表せ.
(3) |a →| =2 , | b→ |= |c →| =1 としたとき, OP→ と AP → は直交することを示せ.
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【4】 a<- 2 とする.関数 f ⁡(x )= ex- e-x +a⁢ x を考える.
(1) limx →∞ f⁡( x) と limx→ -∞ f⁡( x) を求めよ.ただし, limx →∞ x ex =0 であることを用いてよい.
(2) y=f⁡ (x ) のグラフは x 軸と異なる 3 点で交わることを示せ.