2012　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　次の不定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}}dx$

(2)　${\displaystyle \int }{\sin }^{9}x\cos xdx$

(3)　${\displaystyle \int }{\sin }^{9}x{\cos }^{3}xdx$

【１】

問２　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}$

【１】

問３　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=0$を示せ．

【２】

問１　$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$A$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$A^2\text{，}{A}^3\text{，}{A}^4$を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを証明せよ．

【２】

問２　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，$a>0$であるとする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の最小値を求めよ．

【３】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，次の条件を満たすものとする．

$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{OC}=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\angle \mathrm{COA}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{P}$は平面$\mathrm{OAB}$上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$と表されているとする．点$\mathrm{P}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{OAB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．したがって，$\mathrm{CQ}\perp \mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{CQ}\perp \mathrm{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}$と表したとき，$u\text{，}v$を求めよ．

問２(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x\text{，}y$の値，最小値をとるときの$x\text{，}y$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

問３　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とおく．点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$はいずれも直線$\mathrm{OQ}$上にあることを示せ．ただし，$\mathrm{Q}$は問１で定めた点とする．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+2}}$について，以下の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$の増減，極値，および$y=f(x)$のグラフの凹凸，変曲点を調べよ．さらに，このグラフの概形を描け．

問２　$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}f(t)dt$とおく．$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．