2012　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　放物線$y=x^2-ax+3$の頂点が直線$y=3x+5$上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　${\log }_9\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_9{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}{\log }_9\sqrt[3]{6}$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　曲線$y=\sqrt{x-1}$上の点$(2,1)$における接線を$l$とする．この曲線と$x$軸および接線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$の値を求めよ．ただし，$O$は零行列，$E$は単位行列である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)$がある．次の各問に答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．

【３】　右図のように$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，

$\theta =\angle \mathrm{BAH}\text{，}\mathrm{AH}=1$

とする．$▵\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots$を三角形の中に作り，その半径を$x_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3\text{，}\cdots \text{，}$面積を$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}\cdots$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$r_1\text{，}{r}_2$の値を求めよ．

(2)　数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．

(3)　無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$

の和を求めよ．

【４】　$2$つの関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}}$（定義域は$-\pi <x<\pi$）

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}dt$（定義域は実数全体）

と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．

(2)　$h(x)$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}}{\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}dt$の値を求めよ．