2012　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$f(x)\text{，}g(x)$を$x$の整式とする．これらが

$f(x)=2x+{\displaystyle {\int }_0^1}g(t)dt$

$g(x)=x^2{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt+2$

を満たすとき，

$f(x)=\boxed{\text{(1)}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}}}$

$g(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}}}{x}^2+\boxed{\text{(6)}}x+\boxed{\text{(7)}}$

となる．さらに，

${\displaystyle {\int }_{-1}^2}\{f(t)+2g(t)\}dt={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(8)}\text{(9)}\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}$

${\displaystyle {\int }_0^2}f(t)g^{\prime }(t)dt=\boxed{\text{(12)}\text{(13)}\text{(14)}}$

である．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$2$つの線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$として，直線$\mathrm{OP}$が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表される．また三角形$\mathrm{OAF}$の面積を$S_1$とし，三角形$\mathrm{OFB}$の面積を$S_2$とするとき

${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}}}$

である．さらに三角形$\mathrm{POA}$の面積を$S_3$とし，三角形$\mathrm{PFB}$の面積を$S_4$とするとき

${\displaystyle \frac{S_4}{S_3}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}\text{(30}}}}$

である．

【３】　数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件

(A)　$a_2=1$

(B)　${a_{n+1}}^2-6a_{n+1}{a}_n+8{a_n}^2=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(C)　$a_{n+1}>3a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．以下の文は$\{a_n\}$の一般項を推測する記述である．

条件(A)と，条件(B)において$n=\boxed{\text{(31)}}$とおいた式から，$a_2$は$2$次方程式

$x^2-\boxed{\text{(32)}}x+\boxed{\text{(33)}}=0$

の解の$1$つである．この方程式の解のうち小さいほうは$\boxed{\text{(34)}}\text{，}$大きいほうは$\boxed{\text{(35)}}$である．これらの候補のうち条件(C)において$n=1$とした式を満たすものを選ぶと，$a_2=\boxed{\text{(36)}}$である．同様に，$a_3=\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{(39)}\text{(40}}$となるので，一般項は$a_n={\boxed{\text{(41)}}}^{n-1}$と推測される．

【４】　$t$を実数の定数として，$x$の$3$次関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2^t{x}^2+(4^t-4^{-t})x$

を考える．$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を，$x=\beta$において極小値をとるとする．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$が$\alpha \beta =1$を満たすとき

$t={\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\log }_2\boxed{\text{(a)}}+\sqrt{\boxed{\text{(b)}}})-\boxed{\text{(c)}}\}$

である．(a)，(b)，(c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$が$\beta -\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は

$t\leqq -\boxed{\text{(d)}}{\log }_2\boxed{\text{(e)}}-1$

である．(d)，(e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$が

$a_n=n^2+10n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられている．

(1)　$a_n\leqq 100$を満たすような最大の$n$と，このときの$a_n$の値を求めよ．

(2)　$a_n$が$6$桁の整数のうちで最大となるような$a_n$を求めよ．また，このときの$n$を求めよ．

【６】　金貨と銀貨が$1$枚ずつある．これらを同時に$1$回投げる試行を行ったとき，金貨が裏ならば$0$点，金貨が表で銀貨が裏ならば$1$点，金貨が表で銀貨も表ならば$2$点が与えられるとする．この試行を$5$回繰返した後に得られる点数を$X$とする．

(1)　$X=1$となる確率を求めよ．

(2)　$X=3$となる確率を求めよ．

(3)　$X$が偶数となる確率を求めよ．ただし，$0$は偶数とする．