2012　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】

(ⅰ)　$\mathrm{A}$の袋には赤玉$1$個と黒玉$15$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉$16$個が入っている．それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出して交換する，という試行を$n$回繰返したとき，赤玉が$\mathrm{A}$の袋に入っている確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．例えば，

$p_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}}}\text{，}{p}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(5)}\text{(6)}\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}\text{(9)}\text{(10)}}}}$

である．$p_{n+1}$を$p_n$で表すと，$p_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(11)}}}{\boxed{\text{(12)}}}}{p}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}}$となるので，これより

$p_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}}}}\{1+{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}}}}\right)}^n\}$

と求まる．

【１】

(ⅱ)　赤玉$7$個，白玉$10$個，青玉$n$個が入った袋から，同時に$4$個の玉を取り出すとき，それらが赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$1$個である確率を$q_n$とする．ただし，$n$は自然数である．${\displaystyle \frac{q_{n+1}}{q_n}}$を$n$の式で表すと，

${\displaystyle \frac{q_{n+1}}{q_n}}={\displaystyle \frac{n^2+\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}n+\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}}{n^2+\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}n}}$

となる．これより$n\leqq \boxed{\text{(26)}}$の範囲で$q_n<q_{n+1}$が成り立ち，また，$n\geqq \boxed{\text{(27)}}$の範囲で$q_n>q_{n+1}$が成り立つことがわかる．従って，$q_n$は$n=\boxed{\text{(28)}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}\text{(32)}\text{(33)}}}}$をとる．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点

${\mathrm{A}}_1(1,1,1)\text{，}{\mathrm{B}}_1(-1,-1,1)\text{，}{\mathrm{C}}_1(1,-1,-1)\text{，}{\mathrm{D}}_1(-1,1,-1)$

を考えると，立体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．

(ⅰ)　正四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h\text{（}0\leqq h\leqq 2\text{）}$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，

$S(h)=-\boxed{\text{(34)}}{h}^2+\boxed{\text{(35)}}h$

と表され，$S(h)$は$h=\boxed{\text{(36)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(37)}}$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，

$V_1={\displaystyle {\int }_0^2}S(h)dh={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(38)}}}{\boxed{\text{(39)}}}}$

とおくと，$V_1$は正四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の体積となっている．

(ⅱ)　三角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\text{，}$三角形${\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_1\text{，}$三角形${\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の重心をそれぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_2$とする．このとき，立体${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n\text{，}$三角形${\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n{\mathrm{A}}_n\text{，}$三角形${\mathrm{D}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}$三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の重心をそれぞれ${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{C}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{D}}_{n+1}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}}})}^n\}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$

である．

　また，正四面体${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，

$S_n=\boxed{\text{(44)}}\cdot {\boxed{\text{(45)}}}^{-\boxed{\text{(46)}}n+\frac{\boxed{\text{(47)}}}{2}}\text{，}{V}_n=\boxed{\text{(48)}}\cdot {\boxed{\text{(49)}}}^{-\boxed{\text{(50)}}n+\boxed{\text{(51)}}}$

である．

【３】　企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$が，互いに競合する商品を販売しようとしている．両社は，販売する商品の特性を，ある程度の範囲の中から選ぶ事が可能である．また，消費者の好みもさまざまである．この状況での企業の戦略決定を，次のモデルで考えてみよう．

　企業$\mathrm{X}$が販売する商品の特性を$x\text{，}$企業$\mathrm{Y}$が販売する商品の特性を$y\text{，}$消費者の好みを$t$で表す．ただし，それぞれのとり得る値の範囲は，

$0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1\text{，}0\leqq t\leqq 1$

とする．企業$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$は，まず，特性$x$と$y$をそれぞれ決めるものとする．その結果は公表され，各企業は相手の企業が決めた特性も知るものとする．以下，$x<y$の場合に限定して考察する．第$2$段階として，企業$\mathrm{X}$は販売する商品の$1$個あたりの販売価格$p$（円）を決め，同様に企業$\mathrm{Y}$は$q$（円）を決める．ただし，販売価格のとり得る値の範囲は，$p>0\text{，}q>0$とする．一方，好み$t$を持つ消費者は，自分の好みと商品の特性および販売価格を考え合わせて，次のように商品を選択して購入するものとする．この消費者にとっての企業$\mathrm{X}$の商品の価値$V_{\mathrm{X}}$と企業$\mathrm{Y}$の商品の価値$V_{\mathrm{Y}}$が，$U$と$c$を正の定数として，

$V_{\mathrm{X}}=U-p-c{(t-x)}^2\text{，}{V}_{\mathrm{Y}}=U-q-c{(t-y)}^2$

で定まるものとし，消費者は，自分にとっての価値が大きい方の商品を選択するものとする．問題の複雑化を避けるため，もし価値が等しければ，企業$\mathrm{X}$の商品を選択するものとする．また，いずれの場合でも，消費者は，選択した商品を必ず購入するものとする．

　以下の設問において，太線の四角による表示のある問い，例えば$\boxed{\boxed{\text{(52)}}}$や$\boxed{\boxed{\text{(53)}}}$など，に対しては$x\text{，}y\text{，}p\text{，}q\text{，}c$のいずれかの文字が入る．$x$を入れる場合は$1\text{，}y$ならば$2\text{，}p$ならば$3\text{，}q$ならば$4\text{，}c$ならば$5$と解答しなさい．

(ⅰ)　消費者の選択に関する仮定から実数$\bar{t}$が定まり，好み$t$を持つ消費者は，$t\leqq \bar{t}$であれば企業$\mathrm{X}$の商品を選び，$t>\bar{t}$であれば企業$\mathrm{Y}$の商品を選ぶことがわかる．$\bar{t}$の値を$x\text{，}y\text{，}p\text{，}q\text{，}c$を用いて表すと，

${\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\text{(52)}}}+\boxed{\boxed{\text{(53)}}}}{\boxed{\text{(54)}}}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(55)}}\boxed{\boxed{\text{(56)}}}}}\cdot {\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\text{(57)}}}-\boxed{\boxed{\text{(58)}}}}{\boxed{\boxed{\text{(59)}}}-\boxed{\boxed{\text{(60)}}}}}$

となる．

(ⅱ)　次に，企業の売上高に相当する値を定める．はじめに記したように，消費者の好みはさまざまであり，その好みが$0$と$1$の間に分布していると考えている．その分布の仕方を特定すれば，各消費者の選択を集約することにより，各企業の売上高を定めることができる．ここでは，企業$\mathrm{X}$の売上高に相当する評価値$T_{\mathrm{X}}$と，企業$\mathrm{Y}$の売上高に相当する評価値$T_{\mathrm{Y}}$を，

$T_{\mathrm{X}}=p\bar{t}\text{，}{T}_{\mathrm{Y}}=q(1-\bar{t})$

と定め，これらの評価値を最大化する問題に置き換えて考える（ただし，$\bar{t}$は(ⅰ)で求めたものである）．もう少し詳しく記すと，第$2$段階における，$x<y$であることを前提とした価格設定がどのようになるかをまず調べ，その決定の仕方を考慮に入れて，評価値が最大になる商品の特性を求める，という問題をいくつかのステップに分けて考える．

　まず，$T_{\mathrm{X}}$を$p$の関数と考える．ここで，$T_{\mathrm{X}}$を$p$の関数と考えるということは，$T_{\mathrm{X}}$の式の中に含まれる$p$以外の文字，すなわち$x\text{，}y\text{，}q\text{，}c\text{，}$はすべて定数と考える，ということである．この点に注意して，$T_{\mathrm{X}}$が最大値をとる$p$の値を$x\text{，}y\text{，}q\text{，}c$を用いて表すと，

${\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\text{(61)}}}}{\boxed{\text{(62)}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\text{(63)}}}(\boxed{\boxed{\text{(64)}}}+\boxed{\boxed{\text{(65)}}})(\boxed{\boxed{\text{(66)}}}-\boxed{\boxed{\text{(67)}}})}{\boxed{\text{(68)}}}}$

となる．

(ⅲ)　同様にして，$T_{\mathrm{Y}}$を$q$の関数と考え，$T_{\mathrm{Y}}$が最大値をとる$q$の値を$x\text{，}y\text{，}p\text{，}c$を用いて表すことができる．(ⅱ)の結果と合わせると，$p$と$q$についての連立$1$次方程式が得られる．この連立方程式の解を$\bar{p}$と$\bar{q}$とすると，$p=\bar{p}\text{，}q=\bar{q}$において，$T_{\mathrm{X}}$は$p$の関数として最大値をとり，同時に，$T_{\mathrm{Y}}$は$q$の関数として最大値をとることがわかる．$\bar{p}$の値を$x\text{，}y\text{，}c$を用いて表すと，

${\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\text{(69)}}}}{\boxed{\text{(70)}}}}(\boxed{\boxed{\text{(71)}}}-\boxed{\boxed{\text{(72)}}})(\boxed{\boxed{\text{(73)}}}+\boxed{\boxed{\text{(74)}}}+\boxed{\text{(75)}})$

となり，$\bar{p}$と$\bar{q}$に対する$\bar{t}$の値は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(76)}}}{\boxed{\text{(77)}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\text{(78)}}}+\boxed{\boxed{\text{(79)}}}}{\boxed{\text{(80)}}}}$

と表される．

(ⅳ)　最後に，各企業の価格決定が今求めた$\bar{p}$と$\bar{q}$になることを前提として，企業$\mathrm{X}$は商品の特性$x$を以下のように決定する．まず，$p=\bar{p}\text{，}q=\bar{q}$として，$T_{\mathrm{X}}$を$x$の関数と考える．次に，この関数$T_{\mathrm{X}}=f(x)$が最大値をとる$x$の値を求める．その値を$\bar{x}$とする．ここで，関数$T_{\mathrm{X}}=f(x)$のグラフの概形を解答用紙$\mathrm{B}$の座標平面に描きなさい．ただし，関数の極値および極値をとる$x$の値を明記する必要はありません．

(ⅴ)　企業$\mathrm{Y}$もまったく同様にして，$p=\bar{p}\text{，}q=\bar{q}$とし，$T_{\mathrm{Y}}$を$y$の関数と考えて，その関数が最大値をとる$y$の値を求める．その値を$\bar{y}$とする．$\bar{x}$と$\bar{y}$が決まれば，それらに対する$\bar{p}$と$\bar{q}$も確定する．これらの値の組は当たられた仮定を満たし，企業$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$にとって，お互いに最適な戦略決定になっている．最終的に求められた$\bar{x}\text{，}\bar{y}\text{，}\bar{p}\text{，}\bar{q}\text{，}\bar{t}$それぞれの値を$c$を用いて表し，解答用紙$\mathrm{B}$の解答欄にある所定の位置に答えのみ記入しなさい．