2012　上智大学　総合人間，法学部2月6日実施MathJax

【１】　$x$の$3$次式$f(x)=a{x}^3+c{x}^2+cx+d$は，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において

$f(\cos \theta )=\cos 3\theta -\sqrt{3}\cos 2\theta$

を常に満たすとする．

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}c=\boxed{\text{エ}}\text{，}d=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$\cos 3\theta -\sqrt{3}\cos 2\theta$は$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\pi$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$をとり，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$のとき最大値$\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$をとる．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，

$\cos 3\theta -\sqrt{3}\cos 2\theta \geqq \alpha \cos \theta +\sqrt{3}$

が常に成り立つような$\alpha$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(4)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，

$\cos 3\theta -\sqrt{3}\cos 2\theta \leqq \beta \cos \theta +\sqrt{3}$

が常に成り立つような$\beta$の最小値は$\boxed{\text{タ}}+\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=\mathrm{PD}=\sqrt{5}$

である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える．

(1)　四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき

$\mathrm{PH}=\boxed{\text{テ}}\text{，}\mathrm{OH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

(2)　辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき

$\mathrm{SP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$

である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき

$\mathrm{ST}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\text{，}\mathrm{CT}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$

である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$

である．

【３】　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．これらを$3$枚ずつ$3$つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も大きい数が書かれたカードを取り出す．

(1)　取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$である．

(2)　取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$である．

(3)　取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．

(4)　取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}$である．

(5)　取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}$である．