2012　東邦大学　理学部A日程MathJax

2012-13460-0101

2012　東邦大学　理学部A日程

1月28日実施

【１】で配点40点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　 $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} ， y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ のとき， $x^{3} + y^{3} = ア， \frac{1}{x^{2} y} + \frac{1}{x y^{2}} = イ$ である．

2012-13460-0102

2012　東邦大学　理学部A日程

1月28日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　ベクトル $\vec{a} ， \vec{b}$ は $| \vec{a} | = 2 ，$ $| \vec{b} | = 1 ，$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ を満たしている．実数 $t$ に対して， $\vec{x} = t \vec{a} + (t^{2} - 1) \vec{b}$ とするとき， $\vec{x} ⊥ \vec{a} + \vec{b}$ が成立する正の実数 $t$ は $ウ$ であり， $\vec{x} ⫽ \vec{a} + \vec{b}$ が成立する負の実数 $t$ は $エ$ である．

2012-13460-0103

2012　東邦大学　理学部A日程

1月28日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　方程式 $\log_{3} (\log_{2} x) = 2$ の解は $x = オ$ である．また，不等式 $\log_{3} (\log_{2} x) ≦ 1$ の解は $1 ≦ x ≦ カ$ である．

2012-13460-0104

2012　東邦大学　理学部A日程

1月28日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　半径 $1$ の円周上に，弧の長さの比が $\overset{⏜}{AB} : \overset{⏜}{BC} : \overset{⏜}{CA} = 3 : 4 : 5$ となるように $3$ 点 $A ， B ， C$ をとる．このとき， $\sin ∠ ABC = キ$ であり， $▵ ABC$ の面積は $ク$ である．

2012-13460-0105

2012　東邦大学　理学部A日程

1月28日実施

配点30点

易□　並□　難□

【２】　定数 $k$ は $0 < k < 1$ を満たす． $2$ 次関数 $f (x) = k x^{2} - 2 x + 1$ と， $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ は $2$ つの異なる正の解 $a ， b （ 0 < a < b ）$ をもつことを示し， $b$ の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　 $F (b)$ を $b$ だけを用いた式で表し， $F (b)$ の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　 $F (x) > 0$ がすべての正の実数 $x$ に対して成り立つための $k$ の条件を求めよ．

2012-13460-0106

2012　東邦大学　理学部A日程

1月28日実施

配点30点

易□　並□　難□

【３】　 $A$ と $B ，$ 二つの野球チームがくり返し対戦し，先に $3$ 回勝ったチームを優勝とする．このとき，各試合で $A$ が $B$ に勝つ確率を $\frac{2}{3}$ とし，引き分けはないものとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $A$ が初戦から $3$ 連勝で優勝する確率を求めよ．

(ⅱ)　 $A$ が $3$ 勝 $2$ 敗で優勝する確率を求めよ．

(ⅲ)　 $B$ が優勝する確率を求めよ．

(ⅳ)　 $A$ が初戦から $2$ 連勝した．この後， $A$ が優勝する確率を求めよ．