2012　東邦大学　医学部医学科MathJax

2012-13460-0201

2012　東邦大学　医学部医学科

1月23日実施

易□　並□　難□

2012年東邦大医学部医学科【１】の図

【１】　右図のように，円周上に $3$ 点 $A ， B ， C$ があり， $∠ ACB = 108 °$ である．円の外部にある点 $P$ から円に引いた $2$ つの接線が $A$ と $B$ で接するとき， $∠ APB = アイ °$ である．

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易□　並□　難□

【２】　 $1$ から $100$ までの自然数のうち， $3$ の倍数全体の集合を $A ， 5$ の倍数全体の集合を $B ， 7$ の倍数全体の集合を $C$ で表す．このとき，集合 $(A \cup B) \cap C$ の要素の個数は $ウエ$ である．

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【３】　 $a ， b ， c ， d$ をそれぞれ定数とし，座標平面上で行列 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ の表す $1$ 次変換を $f$ とする． $f$ によって， $2$ 点 $(1, 1) ， (1, - 1)$ がそれぞれ $(12, 7) ， (8, - 9)$ に移るとき， $a + d$ の値は $オカ$ である．

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易□　並□　難□

【４】　 $3$ 個のサイコロを同時にふるとき，出た目のうち最大の目が $4$ かつ最小の目が $3$ となる確率は $\frac{キ}{クケ}$ である．

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【５】　極限 $\lim_{n \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sqrt{3 - \sin x}} - \frac{1}{\sqrt{3 + \sin x}})$ の値は $\frac{\sqrt{コ}}{サ}$ である．

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【６】　 $k$ を定数とする． $2$ つの $2$ 次方程式

$2 x^{2} + k x - 1 = 0 ， 2 x^{2} - 2 x + k + 1 = 0$

が共通の解をただ一つもつとき， $k$ の値は $シス$ である．

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【７】　 $2$ つの実数 $x ， y$ が $\frac{1}{8^{x}} = \frac{1}{27^{y}} = 36$ を満たすとき， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{セソ}{タ}$ である．

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【８】　 $a$ を定数とする．座標平面上の $2$ つの曲線 $y = a (x^{2} + 1)$ と $y = 2 x^{2} - x^{3}$ が相違なる $3$ つの点で交わるとき， $a$ の取りうる値の範囲は $チ < a < \frac{ツ}{テ}$ である．

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【９】　空間において， $2$ 点 $(0, 0, 0) ， (1, 1, 1)$ を通る直線を $l ， 2$ 点 $(1, 0, 0) ， (0, 1, 0)$ を通る直線を $m$ とする． $l$ 上の点と $m$ 上の点の間の距離の最小値は $\frac{\sqrt{ト}}{ナ}$ である．

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【10】　 $a ， b ， c ， d$ をそれぞれ定数とする．座標平面上の曲線 $y = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ は， $x = 0$ で $x$ 軸に接し，かつ異なる $2$ つの点で直線 $y = x - 9$ に接するとする．このとき， $a$ の値は $\frac{ニ}{ヌ}$ である．

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配点30点

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【11】　 $3$ 次方程式 $x^{3} - x^{2} - 4 x - 1 = 0$ の $3$ つの解を $α ， β ， γ$ とするとき， $(α + \frac{1}{α}) (β + \frac{1}{β}) (γ + \frac{1}{γ}) = ネノ$ である．

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配点30点

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【12】　 $0 ≦ t ≦ \sqrt{2}$ を定義域とする $t$ の関数 $\int_{0}^{\frac{3}{2}} | t - \sqrt{2 - \frac{4}{3} x} | d x$ の最小値は $ハヒ + \sqrt{フ}$ である．

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配点30点

易□　並□　難□

2012年東邦大医学部医学科【13】の図

【13】　 $▵ ABC$ において， $AB = CA = 13 ， BC = 10$ とする．また，．辺 $AB$ の中点を $D ，$ 辺 $CA$ を $2 : 1$ に内分する点を $E ，$ 線分 $CD$ と線分 $BE$ の交点を $F$ とする．このとき， $▵ CEF$ の面積は $ヘホ$ である．

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配点30点

易□　並□　難□

【14】　座標平面において， $3$ 直線 $y = 0 ， 4 x + 3 y - 4 = 0 ， 12 x - 5 y = 0$ に囲まれてできる三角形の内心の $x$ 座標は， $\frac{マ}{ミ}$ である．

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配点30点

易□　並□　難□

【15】　実数 $x$ に対して $n ≦ x < n + 1$ を満たす整数 $n$ を $[x]$ で表すとき， $\sum_{k = 1}^{50} [\frac{3}{5} k]$ の値は $ムメモ$ である．