2012　東邦大学　看護学部MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$のとき，$xy+x+y-1$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　$x+bx+b+1$を因数分解せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　$2$次方程式$2x^2-x-5=0$を解け．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　不等式$(x-1)(2x+1)<0$を解け．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　放物線$y=x^2+2ax-1$の頂点が$(-2,b)$のとき，定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(6)　鋭角$\theta$が$\tan \theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$を満たすとき，$\sin \theta +\cos \theta$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(7)　$(x+4)(x^2-3x+1)(x^3+x^2-x+1)$を展開したとき，$x^3$の係数を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(8)　$1$つのサイコロを続けて$2$回投げるとき，出る目の数を順に$X\text{，}Y$とする．このとき，$X<Y$である確率を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$\sin 75\mathrm{°}+\sin 120\mathrm{°}-\cos 150\mathrm{°}+\cos 165\mathrm{°}$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　$2$次関数$y=x^2+2(2-k)x+k$（$k$は定数）のグラフが$x$軸に接しているとき，空欄を正しく埋めよ．

$k=\boxed{}$のとき，接点の座標は$\boxed{(,)}$，

$k=\boxed{}$のとき，接点の座標は$\boxed{(,)}$である．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　直線$2x+5y=27$上で，$x\text{，}y$がともに正の整数である点$(x,y)$はいくつあるか．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$a$を正の定数とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2-6ax+b$が，区間$1\leqq x\leqq 4$において，最大値$11\text{，}$最小値$8$をとるとき，$b$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りが$2x+1$となり，$(x-1)(x+2)$で割ると余りが$-x+6$となる．$P(x)$を$(x+1)(x-1)$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3$の正三角形で，点$\mathrm{G}$を$▵\mathrm{ABC}$の重心とする．

　次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)は結果のみ答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABG}$の面積を求めよ．

(2)　図１のように，$▵\mathrm{ABC}$を点の周りに反時計回りに$45\mathrm{°}$回転させた．このとき，黒く塗りつぶした三角形の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{3}}{8}}$

である．

　$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$に適する数値を補え．

(3)　図２のように，$▵\mathrm{ABC}$が直線$L$上を滑ることなく，点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{A}$の周りをこの順で，時計回りに$120\mathrm{°}$ずつ回転して移動した．

　このとき，$▵\mathrm{ABG}$が通過して出来た図形の面積を求めよ．

　ただし，円周率を$\pi$とする．