2012　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$1$個のサイコロを$4$回振ったとき，$1$回目から$4$回目までに$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$1$の目が奇数回出る確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　初項が$1024\text{，}$末項が$-2\text{，}$公比が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$の等比数列の項数は$\boxed{\text{ウ}}$で，初項から末項までの和は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　正の実数$x$に対し$x^2-2x+4-{\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{x^2}}$は，$x=\boxed{\text{オ}}$のとき最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　点$(2,2)$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円に，方程式$y=ax$で表される直線$l$が図のように接している．直線$l$は傾きが小さい方の直線である．このとき，$a=\boxed{\text{キ}}$で，$x$軸と直線$l$のなす角度を$\theta$とすれば$\sin \theta =\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　係数が整数である$2$次多項式を，係数が整数である$2$つの$1$次多項式に因数分解することができるとき，この$2$次多項式は整数の範囲で因数分解できるという．例えば，$x^2-2x-3$は$(x+1)(x-3)$と因数分解できるので整数の範囲で因数分解できるが，$x^2-2x-2$は整数の範囲で因数分解できない．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x^2+ax+16$が整数の範囲で因数分解されるための整数$a$の値をすべて求めよ．

(ⅱ)　$x^2+7x+b$が整数の範囲で因数分解できるための負でない整数$b$の値をすべて求めよ．

(ⅲ)　一般に負でない整数$a$が与えられたとき，$x^2+ax+b$が整数の範囲で因数分解できるための負でない整数$b$の値は全部で何通りあるか．$a$の式で表せ．　

【３】　実数$a$および$b$を定数とした直線$y=ax+b$が，曲線$y=-x^2$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっている．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$と$b$が満たす条件を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{M}$の座標を$a$と$b$で表せ．

(ⅲ)　$b=3$に固定して，$a$の値を変化させるとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．

(ⅳ)　$a$の値を固定して，$b$の値を変化させるとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を$a$の式で表せ．

【４】　$4$つの曲線$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$をそれぞれ

$A:y=x{e}^x$

$B:y=|x|e^x$

$C:y=x{e}^{|x|}$

$D:y=|x|e^{|x|}$

とする．ここで，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$A$上の点$(x,y)$において，$y$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　$m$を正の実数とし，曲線$B$と直線$x=-m$と$x$軸とで囲まれる領域の面積を$S_m$で表す．$\underset{m\to \infty }{\lim }{S}_m$を求めよ．必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$であることを証明なしに用いてよい．

(ⅲ)　曲線$A\text{，}$曲線$C\text{，}$直線$x=-2\text{，}$直線$x=-1$とで囲まれる領域の面積を求めよ．

(ⅳ)　曲線$D$と直線$x=-1$と$x$軸とで囲まれる領域を$x$軸のまわりで$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．