2012　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$k$を正の定数とする．$2$つの放物線

$\begin{array}{ll}y=x^2& \text{①}\\ y=x^2+k& \text{②}\end{array}$

を考える．次の問に答えよ．

(1)　放物線$\text{②}$上の点$\mathrm{P}$における接線$l$の方程式を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．

(2)　放物線$\text{①}$と接線$l$の共有点の$x$座標を求めよ．

(3)　放物線$\text{①}$と接線$l$で囲まれた領域$A$の面積を求めよ．

(4)　不等式$x\geqq p$の表す領域と領域$A$の共通部分の面積を求めよ．

【２】　$a>0\text{，}a\ne 1$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　正の実数$x\text{，}y$に対して，${\log }_a{\displaystyle \frac{x+y}{2}}$と${\displaystyle \frac{1}{2}}({\log }_{a}x+{\log }_{a}y)$の大小関係を調べよ．

(2)　実数$x\text{，}y$に対して，${\log }_a(x+y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$が成り立つとき，${\displaystyle \frac{1}{x}}$および${\displaystyle \frac{1}{y}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　(2)において，$k=2x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　${\log }_a(x+y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$を満たす整数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【３】　$0\leqq \theta \leqq \pi$は$\cos (2\theta )=\cos (3\theta )$を満たす．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha -\beta =2\theta \text{，}\alpha +\beta =3\theta$を満たす$\alpha \text{，}\beta$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$の値を求めよ．

(3)　$\cos \theta$の値を求めよ．

(4)　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$の外接円の半径を$R$とする．$R^2$の値を求めよ．