2012　南山大　センター併用2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　整式$2x^3-2a^{2}x-ax+a^2$を因数分解すると$\boxed{\text{ア}}$である．曲線$y=2x^3-2a^{2}x-ax+a^2$と直線$y=-x+a$が，$x>a$の範囲において異なる$2$つの点で交わるような$a$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$9\text{，}10\text{，}5$とし，面積を$S\text{，}$内接円の半径を$r$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S}{r}}$の値を求めると${\displaystyle \frac{S}{r}}=\boxed{\text{ウ}}$である．さらに，この三角形の内心を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線が$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ADE}$の$3$辺の長さの和の比を求めると$(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}):(\mathrm{AD}+\mathrm{DE}+\mathrm{EA})=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が書かれたカードがそれぞれ$3$枚ずつ合計$15$枚ある．この$15$枚から同時に$2$枚抜き出したときに$2$枚のカードに書かれた数の和が$3$になる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．また，この$15$枚から同時に$3$枚抜き出したときに$3$枚のカードに書かれた数の和と積が等しくなる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　座標平面上に放物線$C:y=x^2+2$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．また，$C$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$を考える．

(1)　$\mathrm{P}$の座標が$(-1,3)$のとき，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡$D$の方程式を求め，同一平面上に$C$と$D$を図示せよ．

(3)　$C$と(2)の$D$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$\cos 2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\cos \alpha$の値を求めると$\cos \alpha =\boxed{\text{ア}}$である．

$\cos \beta =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\cos 3\beta$の値を求めると$\cos 3\beta =\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,1)\text{，}\mathrm{B}(2,3)$がある．このとき$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めると$\cos \angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を実数$s\text{，}t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと$(s,t)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$7$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$がいる．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$をグループ１，残り$5$人をグループ２とする．各生徒が$6$個の赤球を持っていて，自分を除く$6$人に$1$個ずつ球を渡すとき，異なるグループに移る赤玉の総数は$\boxed{\text{オ}}$である．

　次に，$\mathrm{A}$が$n$個の白球を他の生徒に渡す．渡す相手は，球ごとに以下のように決める．

「サイコロを振って，出た目が$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$ならば渡す相手をそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とする．」

　このとき，$\mathrm{A}$が渡した$n$個の白球のうち，グループ２に移る白球の個数が$1$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　関数$f(x)=x{e}^x-{(x+1)}^2$を考える．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)\text{，}{f}^{″}(0)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．

(3)　$f(a)\leqq 0$を満たす整数$a$の最大値を求めよ．ただし，$7<e^2<8$である．

(4)　曲線$y=f(x)$の変曲点は$1$つであることを示せ．