2012　南山大　人文・総合政策Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$3$次の整式$F(x)$を$x^2-3x+2$で割ると，余りは$-3x-5$である．これより，$F(2)=\boxed{\text{ア}}$である．この$F(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りが$3x+7$であるとき，$F(0)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^x}{{(1+{10}^x)}^2}}$を考える．$f(x)\geqq 2$となる$x$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，等式$f(-x)={\displaystyle \frac{a\cdot {10}^{bx}}{{(1+{10}^x)}^2}}$がすべての$x$について成り立つように定数$a\text{，}b$の値を定めると$(a,b)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　直線$l:y=7x+6a-5$と放物線$y={(x-a)}^2-5$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{オ}}$である．また，直線$y=2x+a$に関して，$l$と対称な直線の方程式を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．${\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}=4\sqrt{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めると$\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{キ}}$であり，${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$の値を求めると${\sin }^4+{\cos }^4\theta =\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$2$次関数$f(x)=3x^2-6x+4$を考える．関数$g(x)$は，定数$a$に対して

${\displaystyle {\int }_a^x}g(x)dx=f(x)-2a^2$

を満たす．

(1)　曲線$y=f(x)$の接線で点$(0,-8)$を通るものが$2$つある．それぞれの方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$つの接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　$g(x)$を求めよ．

(4)　$a$の値を求めよ．