2012　同志社大　文系学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に，$2$点$\mathrm{A}(5,10)\text{，}\mathrm{B}(-2,4)$がある．$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とするとき，$\cos \theta =\boxed{\text{ア}}$であり，$\sin \theta =\boxed{\text{イ}}$である．また，$▵\mathrm{AOB}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$であり，内接円の半径$r$は$\boxed{\text{エ}}$である．また，外接円の半径$R$は$\boxed{\text{オ}}$であり，外心の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．さらに，重心の座標は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　サイコロを$3$回投げ，出た目の数字を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．このとき，$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が異なる$2$つの実数解を持つ確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，${\log }_{(a+b)}c$が整数となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，ベクトル$(a,b)$とベクトル$(c,-1)$が直交する確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　平面上のベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$は大きさが等しく，互いに直交している．$\overrightarrow{a}=(7,9)$とするとき，$2\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}$が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}$を内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}\text{，}$および内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}$の値を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$の成分をすべて求めよ．

【３】　$x$の$3$次関数$f(x)=2x^3-3x^2$について，曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=f(|x|)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$のグラフの概形を描け．

(2)　$a$を実数とする．曲線$C_1$の接線のなかで点$(0,a)$を通る接線の本数を求めよ．

(3)　曲線$C_2$のグラフの概形を描け．

(4)　$b$は$b>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数とする．曲線$C_2$の接線のなかで点$(b,4)$を通る接線の本数を求めよ．