2012　関西大　総合情報学部2月3日実施MathJax

(1)　$a^2$を$3$で割った余りは$0$または$1$であることを示せ．

(2)　$a^2+b^2=c^2$を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}c$の積$abc$が$3$の倍数であることを示せ．

(3)　$a^2+b^2=225$を満たす$a\text{，}b$の値を求めよ．

$f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax+9a-5$

とおく．$f(x)=0$が$3$個の相異なる実数解をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値の差が${\displaystyle \frac{125}{27}}$であるとき，$a$の値を求めよ．このとき，$f(x)=0$の実数解で正となる解の個数も求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$a$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{①}}$であり，$\mathrm{OAB}$が正三角形であることより，$a=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　正四面体の残りの頂点$\mathrm{C}$は$2$通り考えられる．ここで，頂点$\mathrm{C}$の$x$座標が正である場合の頂点を${\mathrm{C}}_1\text{，}x$座標が負である場合の頂点を${\mathrm{C}}_2$とすると，点${\mathrm{C}}_1$の座標は$\boxed{\text{③}}$であり，点${\mathrm{C}}_2$の座標は$\boxed{\text{④}}$である．

(3)　$\left|\overrightarrow{{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2}\right|=\boxed{\text{⑤}}$である．ここで，三角形$\mathrm{OAB}$を底面とする正四面体$\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1$の高さは${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\overrightarrow{{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2}\right|$であることより，正四面体$\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1$の体積は$\boxed{\text{⑥}}$である．