2012　関西大　文系学部2月6日実施MathJax

【１】　関数$y=({\log }_{2}x)({\log }_2{x}^2)+4{\log }_{4}x+1({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 4)$について次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{2}x=t$とおくとき，$t$のとりうる値の範囲を求め，$y$を$t$の式で表せ．

(2)　$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】次の$\boxed{}$をうめよ．

　漸化式$a_{n+2}-a_{n+1}+{\displaystyle \frac{2}{9}}{a}_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}{a}_1=1\text{，}{a}_2=2$を解く．

　$t^2-t+{\displaystyle \frac{2}{9}}=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とすれば，$\alpha =\boxed{\text{①}}\text{，}\beta =\boxed{\text{②}}$である．いま，$b_n=a_{n+1}-\boxed{\text{①}}{a}_n$とおけば，$b_1=\boxed{\text{③}}$であり，$b_n$は$b_{n-1}$を用いて$b_n=\boxed{\text{④}}$と表される．したがって，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{⑤}}$である．同様に，$c_n=a_{n+1}-\boxed{\text{②}}{a}_n$とおけば，$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{⑥}}$である．$2$つの等式

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}-\boxed{\text{①}}{a}_n=\boxed{\text{③}}\\ a_{n+1}-\boxed{\text{②}}{a}_n=\boxed{\text{⑥}}\end{array}$

から$\{a_n\}$の一般項$a_n=\boxed{\text{⑦}}$が得られる．

【３】　実数$a$に対して，$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x-a|dx$とおく．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a>1$のとき，$f(a)=\boxed{\text{①}}$である．

　$0<a\leqq 1$のとき，$f(a)=\boxed{\text{②}}$である．

　$a\leqq 0$のとき，$f(a)=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　定数$k>0$に対して，方程式$f(x)=ka$が$0<a\leqq 1$の範囲において異なる$2$つの解をもつ条件は$\boxed{\text{④}}<k\leqq \boxed{\text{⑤}}$であり，$f(a)=ka$が$0<a\leqq 1$と$a>1$のそれぞれの範囲において$1$つずつ解をもつ条件は$\boxed{\text{⑤}}<k<\boxed{\text{⑥}}$である．