2012　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さは$\mathrm{AB}=2a\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=a$である．$▵\mathrm{PQR}$の$3$辺の長さは$\mathrm{PQ}=1\text{，}\mathrm{QR}=2\text{，}\mathrm{RP}=a$である．次の問いに答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$▵\mathrm{ABC}$の内角で，最小となる角は$\angle A\text{，}\angle B\text{，}\angle C$のいずれであるかを答えよ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の内角で最小となる角の大きさと(1)で求めた最小となる角の大きさが等しくなることを示せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{PQR}$の面積比を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+n+1$

を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$a_7-a_4$の値を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，$S_n=26n$を満たす$n$を求めよ．

【３】　同時に大小$2$個のサイコロを振る．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$は，大きいサイコロの出た目だけ$x$軸の方向に進み，小さいサイコロの出た目だけ$y$軸の方向に進む．最初，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$にあり，この試行を繰り返す．

　すなわち，$1$回目の試行で，大きいサイコロの目が$1$で，小さいサイコロの目が$3$であれば，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$から点$(1,3)$に到達する．続けて$2$回目の試行で，大きいサイコロの目が$3$で，小さいサイコロの目が$2$であれば，点$\mathrm{P}$は点$(1,3)$から点$(4,5)$に到達する．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$1$回の試行で，点$\mathrm{P}$が点$(5,4)$に到達する確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$1$回の試行で，点$\mathrm{P}$が直線$y=-x+5$上に到達する確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$1$回の試行で，点$\mathrm{P}$が$y>{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$を満たす範囲に到達する確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$1$回の試行で，点$\mathrm{P}$が$y<{\log }_{2}x$を満たす範囲に到達する確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$2$回の試行で，点$\mathrm{P}$がちょうど点$(5,4)$に到達する確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とする．曲線$C_1:y=x^3+a{x}^2+bx+c$を，$x$軸の方向に$-2\text{，}y$軸の方向に$-1$だけ平行移動した曲線$C_2$の方程式を$y=f(x)$とすると，

$f(x)=x^3+\boxed{\text{①}}{x}^2+\boxed{\text{②}}x+\boxed{\text{③}}$

である．

　曲線$C_2$は原点において直線$y=2x$と接する．このとき，$b\text{，}c$を$a$を用いて表すと

$b=\boxed{\text{④}}\text{，}c=\boxed{\text{⑤}}$

である．

　さらに，曲線$C_2$上の$x$座標が$-1$である点における接線が，曲線$C_1$上の$x$座標が$1$である点における接線と一致するとき，$a$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．