2012　関西学院大　理工学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　実数$x$が不等式${({\log }_{2}x)}^2-{\log }_2(4x)<0$を満たすとする．このとき，${\log }_{2}x$の範囲は

$\boxed{\text{ア}}<{\log }_{2}x<\boxed{\text{イ}}$

であるから，$x$の範囲は

$\boxed{\text{ウ}}<x<\boxed{\text{エ}}$

である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$2\text{，}3\text{，}0\text{，}9\text{，}-18\text{，}63\text{，}-180\text{，}\cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$\boxed{\text{オ}}\text{，}$公比$\boxed{\text{カ}}$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　円$C$上に頂点をもつ正$8$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$\boxed{\text{ク}}$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$\boxed{\text{ケ}}$個ある．また二等辺三角形になるものは$\boxed{\text{コ}}$個ある．

【２】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2-4y+2=0$を満たすとする．$k={\displaystyle \frac{x}{y}}\text{，}z={\displaystyle \frac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$z$を$k$の式で表せ．

(3)　$z$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

(4)　$z$の最小値を与える$x$の値は$2$つある．それらを$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta$を求めよ．

【３】　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(2,-1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1,2)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$yz$平面上の点$\mathrm{P}(0,a,b)$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たすとき，$t$の値および$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{Q}(2,0,c)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす$s\text{，}t$の値および$c$の値を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

【４】　$a$を定数とし，$f(x)={\displaystyle \frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{\sin x}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos x-1}{x^2}}$を求めよ．

(2)　等式$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つように定数$a$の値を求めよ．

(3)　上の(2)で求めた$a$の値に対して定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}dx$を求めよ．