2012　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$は実数とする．$2$次方程式

$x^2-2ax+3-2a=0\cdots \text{①}$

が実数解をもつような$a$の値の範囲は$a\leqq \boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\leqq a$である．また，方程式$\text{①}$が正の解と負の解をもつような$a$の値の範囲は$a>\boxed{\text{ウ}}$である．また，方程式$\text{①}$が実数解をもち，しかもすべての実数解が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上になるような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，数直線上を移動する．サイコロを投げて出た目の数が$4$以下なら点$\mathrm{P}$は正の方向に$1$進み，出た目の数が$5$以上なら負の方向に$1$進む．ただし，点$\mathrm{P}$が座標$-3$の点に達した後は，出る目にかかわらず，その位置から移動しないとする．サイコロを$4$回投げた後の点$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．$X=4$である確率は$\boxed{\text{カ}}\text{，}X=2$である確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}X=0$である確率は$\boxed{\text{ク}}\text{，}X=-2$である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$X$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　方程式

$2^x-2^{-x}=14\cdots \text{①}$

の解$x$は次のようにして求めることができる．$X=2^x$とおくと，$\text{①}$から$X$についての$2$次方程式

$\boxed{\text{ア}}=0\cdots \text{②}$

を得る．ただし，$\boxed{\text{ア}}$における$X^2$の項の係数は$1$である．方程式$\text{②}$の解は$X=\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}$の$2$個であるが，$2^x>0$に注意すると$2^x=\boxed{\text{イ}}$であることがわかる．よって，方程式$\text{①}$の解は$x=\boxed{\text{エ}}$である．以上のことから，方程式$\text{①}$の解$x$は$\boxed{\text{オ}}<x<\boxed{\text{オ}}+1$の範囲にあることがわかる．ただし，$\boxed{\text{オ}}$は整数である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$において重心を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{ケ}}$

である．また，$▵\mathrm{OAB}$が$3$つの条件$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$を満たすとすると，$\left|\overrightarrow{\mathrm{RG}}\right|$の値は$\left|\overrightarrow{\mathrm{RG}}\right|=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a$は$a<3$を満たす実数とする．関数$f(x)=2x^3-3(a+3)x^2+18ax$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減表をかき，$f(x)$が極大値をとる$x$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$の極大値が$28$になるような$a$の値をすべて求めよ．