2012　関西学院大　教育(理系)，理工学部個別日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　正の数$x$が，$2\cdot 9^x+3^x-3^{-x}+2\cdot 9^{-x}=10$を満たすとする．$t=3^x-3^{-x}$とおくと，$t$は$2$次方程式$\boxed{\text{ア}}=0$の解である．したがって，$t=\boxed{\text{イ}}$である．また，$9^x-9^{-x}=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　放物線$y=x^2+1$と直線$y=ax$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるような実数$a$の値の範囲は，

$a<\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}<a$

である．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の座標を$a$で表すと$\boxed{\text{カ}}$となるから，$\mathrm{M}$は$a$の値によらず放物線$y=\boxed{\text{キ}}$の上にある．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$とするとき，$A^2=\boxed{\text{ク}}$である．また，実数$a\text{，}b$に対して，

$(E+aA)(E+bA)=\boxed{\text{ケ}}\text{，}{(E+aA)}^{-1}=\boxed{\text{コ}}$

である．

【２】　自然数$n$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(3k^2+5k)$とおく．自然数$p$が与えられたとき，$S_n$が$p$の倍数になるような$n$の値を小さい順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_n$を$n$の式で表し，因数分解せよ．

(2)　$p=3$のとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．また$a_{100}$を求めよ．

(3)　$p=3$のとき，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{2^{a_k}}}$を求めよ．また$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

(4)　$p=5$のとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．また$a_{100}$を求めよ．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$重心を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \text{，}$$\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{5}{6}}\pi \text{，}$$\mathrm{OA}=1$

であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2$の値を求めよ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|}^2$の値を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$の値を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPG}$の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+4x^2}}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(3)　$f(\alpha )=f(\beta )$を満たす正の数を$\alpha \text{，}\beta \text{（}0<\alpha <\beta \text{）}$とするとき，$\alpha \beta$の値を求めよ．

(4)　上の(3)の条件を満たす$\alpha \text{，}\beta$に対して，${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{4}}(\log \beta +\log 2)$となることを示せ．