2012　鳥取環境大学　B　2月29日実施MathJax

【１】(1)　$x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}}$とする．

(ⅰ)　$x=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}}=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$であり，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}\text{，}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=\boxed{\text{キク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}$と$\boxed{\text{エ}}$は解答の順序を問わない．

(ⅱ)　$x^2=\boxed{\text{コサ}}-\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}$である．$\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}$の小数第$1$位を四捨五入すると$\boxed{\text{ソ}}$となる．

【１】(2)　$\mathrm{AB}=2\sqrt{10}\text{，}\mathrm{AC}=8$の$▵\mathrm{ABC}$がある．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$直線$\mathrm{AG}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{CG}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\cos \angle \mathrm{EAD}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4}}$である．

(ⅰ)　$\mathrm{DE}=\boxed{\text{タ}}\text{，}\mathrm{AD}=\boxed{\text{チ}}$である．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ADE}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．その外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\mathrm{OG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【１】(3)　$a$を正の定数とする．$x$に関する条件$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を次のように定める．

• $p\text{：}-5\leqq x\leqq 3$
• $q\text{：}-6\leqq x\leqq -3$
• $r\text{：}-a<x<a$
• $s\text{：}x$は整数

(ⅰ)　次の$\boxed{\text{ネ}}\text{，}\boxed{\text{ノ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のうちから$1$つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$a=4$とする．このとき，「$q$かつ$r$」であることは，$p$であるための$\boxed{\text{ネ}}\text{．}$また，$p$であることは「$q$または$r$」であるための$\boxed{\text{ノ}}\text{．}$

$\overline{)\text{1}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが十分条件でない

$\overline{)\text{3}}$　十分条件であるが必要条件でない

$\overline{)\text{4}}$　必要条件でも十分条件でもない

(ⅱ)　「$r$かつ$s$」であることが，$p$であるための十分条件となるような$a$の値の範囲は$0<a\leqq \boxed{\text{ハ}}$である．

【２】(1)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2-(5a+1)x+6a+3$がある．ただし，$a$は定数であり，$a\ne 0$とする．

(ⅰ)　$a=-1$とする．$0\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{イウエ}}$である．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフが$x$軸と接するとき$a=\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅲ)　$a>0$とする．$0\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最大値が$11$以下のとき，$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

【２】(2)　$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$を満たす実数とする．方程式

$3\cos 2\theta -\cos \theta +2=0\cdots \text{①}$

を考える．

　$\text{①}$を$\cos \theta$で表すと

$\boxed{\text{ク}}{\cos }^2\theta -\cos \theta -\boxed{\text{ケ}}=0$

となり，$\text{①}$は，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のとき成り立つ．$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のとき，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\pi$である．また，$\text{①}$を満たす$\theta$は全部で$\boxed{\text{ツ}}$個あり，$\text{①}$を満たす$\boxed{\text{ツ}}$個の$\theta$の和は$\boxed{\text{テ}}\pi$である．

【３】(1)　$a$を$0<a<3$を満たす定数とし，放物線$y=-x^2+(3a-6)x-2a^2+6a$を$C$とする．放物線$C$の$x\geqq 0$の部分と，$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S\text{，}$放物線$C$の$x\leqq 0$の部分と，$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．

(ⅰ)　放物線$C$と$x$軸の交点の$x$座標は，$x=a\text{，}\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}}$である．また，$S=T$となるとき，$a=\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{a}^3+\boxed{\text{キ}}{a}^2$であり，$S$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$をとる．

【３】(2)　$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OC}=3$の平行四辺形$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$4:5$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，線分$\mathrm{DE}$と$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{OG}\perp \mathrm{DE}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ヒ}}$であり，$\cos \angle \mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．