2012　福岡大学　文・法・商学部センタープラスMathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$\boxed{\text{(3)}}$桁の整数である．また，${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}$は，小数第$\boxed{\text{(4)}}$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$\sin x+\cos x+\sin 2x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$の解は，$x=\boxed{\text{(5)}}$である．また，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin y+\sqrt{3}\cos y+4{\cos }^2(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=4$の解は，$y=\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が${\displaystyle \frac{1}{5}}$以下となるのは，$k$が$\boxed{\text{(3)}}$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とがどちらもはずれてしまう確率が${\displaystyle \frac{1}{10}}$以下となるのは，$k$が$\boxed{\text{(4)}}$以上のときである．

【３】　$a>0$とし，放物線$C\text{：}y=x^2-ax$と$x$軸との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の共有点を$\mathrm{P}$とする．また，$m>0$とし，直線$l\text{：}y=mx$と放物線$C$との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線$C$上の点$\mathrm{R}$における$C$の接線が直線$l$と平行であるとする．そのとき点$\mathrm{R}$と直線$l$との距離$d$を$a$と$m$を用いて表せ．

(ⅱ)　$m=a$のとき，放物線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$は，三角形$\mathrm{ORQ}$の面積の何倍になるか求めよ．