2013　北海道大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=\sqrt{2}\sin x\cos x+\sin x+\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$とする．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．

(2)　$t$の取り得る値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．$2$個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(ⅰ)　$X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．

(ⅱ)　$X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．

(ⅲ)　$X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．

(ⅳ)　$X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2\times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．

　以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$を出発点とする．

(1)　$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,0)$にある確率を求めよ．

(2)　$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(0,1)$にある確率を求めよ．

(3)　$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,1)$にある確率を求めよ．

【３】　空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,0,0)\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を考える．$\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{d}\right|=1$で，$\overrightarrow{b}$は$xy$平面上にあり，その$y$成分は正とする．また，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=p$とおく．

(1)　$\left|p\right|<1$であることを示せ．また，$p$を用いて$\overrightarrow{b}$の成分表示を書け．

(2)　$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$は相異なり，

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=p$

をみたすとする．$\overrightarrow{c}$の$z$成分が正のとき，$p$を用いて$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の成分表示を書け．

(3)　上の条件に加えて$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=p$であるとき$p$の値を求めよ．

【４】　実数$t$が$0\leqq t<8$をみたすとき，点$\mathrm{P}(t,t^3-8t^2+15t-56)$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の異なる接線が引けることを示せ．

(2)　(1)での$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$と放物線$y=x^2$で囲まれた領域の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．

【１】　$a$と$b$を正の実数とする．$y=a\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフを$C_1\text{，}y=b\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．このとき，$\sin t$および$\cos t$を$a$と$b$で表せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$a$と$b$で表せ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2$と直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた領域の面積を$T$とする．このとき，$T=2S$となるための条件を$a$と$b$で表せ．

【２】　座標平面上で，直線$y=x$に関する対称移動を$f$とし，実数$c$に対して，直線$y=cx$に関する対称移動を$g$とする．また，原点を中心とする$120\mathrm{°}$の回転移動を$h$とする．

(1)　$f$を表す行列，および$h$を表す行列を求めよ．

(2)　$g$を表わす行列を求めよ．

(3)　合成変換$f\circ g$が$h$になるように$c$の値を求めよ．

【３】　実数$x\text{，}y\text{，}s\text{，}t$に対し，$z=x+yi\text{，}w=s+ti$とおいたとき，

$z={\displaystyle \frac{w-1}{w+1}}$

をみたすとする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$w$を$z$で表し，$s\text{，}t$を$x\text{，}y$で表せ．

(2)　$0\leqq s\leqq 1$かつ$0\leqq t\leqq 1$となるような$(x,y)$の範囲$D$を座標平面上に図示せよ．

(3)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$D$を動いたとき，$-5x+y$の最小値を求めよ．

【４】　次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．$2$個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(ⅰ)　$X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．

(ⅱ)　$X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．

(ⅲ)　$X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．

(ⅳ)　$X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2\times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．

　以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$を出発点とする．

(1)　$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(-1,0)$にある確率を求めよ．

(2)　$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,1)$にある確率を求めよ．

(3)　$2$個のサイコロを$4$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,1)$にある確率を求めよ．

【５】　区間$-\infty <x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^{2x}}tf(2x-t)dt$

とおく．

(1)　$F\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-s)f(s)ds$となることを示せ．

(2)　$2$次導関数$F^{″}$を$f$で表せ．

(3)　$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．