2013　北海道大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の実数とする．

(1)　$t>0$に対して，不等式$b{t}^{b+c}+c\geqq (b+c)t^b$が成り立つことを示せ．

(2)　$x>0\text{，}y>0$に対して，不等式$a{c}^{a+b+c}+b{y}^{a+b+c}+c\geqq (a+b+c)x^a{y}^b$が成り立つことを示せ．

【２】　$2\times 2$行列$A$と$B$が$AB=BA$をみたすとき，$A$と$B$は交換可能であるという．

(1)　$A$と$B$が交換可能ならば，$AB$と$B$は交換可能であることを示せ．

(2)　行列$X\text{，}C\text{，}E$を

$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

と定める．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とする．$X$と$C$が交換可能のとき，$X$は実数$\alpha \text{，}\beta$を用いて$\alpha C+\beta E$と表されることを示せ．

(3)　上の行列$C$に対して，次の$3$条件を同時にみたす$2\times 2$行列$Y$をすべて求めよ．

(a)　$Y$と$C$は交換可能．

(b)　$CY=tY$をみたす実数$t$がある．

(c)　$Y$の$(2,2)$成分は$1$である．

【３】　相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$の$1$秒後の一が以下のルールに従って定まるものとする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$にいるときは，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$\mathrm{A}$に留まるか，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$\mathrm{B}$に移るか，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$\mathrm{C}$に移る．

(ⅱ)　$\mathrm{B}$にいるときは，必ず$\mathrm{C}$に移る．

(ⅲ)　$\mathrm{C}$にいるときは，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$\mathrm{A}$に移るか，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$\mathrm{B}$に移る．

いま，点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$からスタートしてこのルールに従って$n$秒後に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_2\text{，}{c}_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}\text{，}{c}_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

【４】　方程式$3x^2+y^2=3$で定まる楕円$E$と，方程式$xy={\displaystyle \frac{3}{4}}$で定まる双曲線$H$を考える．

(1)　楕円$E$と双曲線$H$の交点をすべて求めよ．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}3x^2+y^2\leqq 3\\ xy\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$

の表す領域の面積を求めよ．