2013　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{2x+3}}dx=\boxed{\text{(ⅰ)}}$．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　$y=x^2-2ax+a$の最小値を$M(a)$とする．$a$を変化させたとき，$M(a)$は$a=\boxed{\text{(ⅱ)}}$で最大になる．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　$y={\cos }^4(5x+4)$を微分すると$y^{\prime }=\boxed{\text{(ⅲ)}}$である．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$2^{2013}$は$\boxed{\text{(ⅳ)}}$桁の数である．ただし${\log }_{10}2=0.30103$とする．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　$AB=O\text{，}BA\ne O$となる$2$次正方行列$A\text{，}B$の例として$A=\boxed{\text{(ⅴ)}}\text{，}B=\boxed{\text{(ⅵ)}}$がある．ここで$O$は零行列である．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$の中から，和が偶数となるように相異なる$3$個の数を選び出す方法は$\boxed{\text{(ⅶ)}}$通りである．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\tan }^{2}x}{1-\cos 2x}}=\boxed{\text{(ⅷ)}}$．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+1\text{（}n\geqq 1\text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{(ⅸ)}}$であり，一般項は$a_n=\boxed{\text{(ⅹ)}}$である．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　$f(x)=\log x$とするとき，$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(2+3h)-f(2)}{h}}=\boxed{\text{(ⅺ)}}$である．

【１】　以下の空白(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　「$x^2>y^2+1$」は「$\left|x\right|>\left|y\right|$」であるための$\boxed{\text{(ⅻ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{{(1+x^2)}^3}}$について，$y^{\prime }\text{，}{y}^{″}$を求めよ．

(2)　(1)の関数の増減と凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

(3)　(1)の関数のグラフと直線$y=a\text{（}0<a<1\text{）}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_a$とする．$\underset{a\to +0}{\lim }{V}_a$を求めよ．

【３】　右図のような，辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCDEFGO}$がある．直線$\mathrm{OD}$上に点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{PF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が直交している．このとき次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の長さを求めよ．

(2)　直線$\mathrm{PF}$上に点$\mathrm{Q}$があり，実数$s$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と表されている．直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{R}$があり，実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表されている．$\overrightarrow{\mathrm{PF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$が直交するとき，$s$を$t$で表せ．

(3)　三角形$\mathrm{PFR}$の面積が最小になるような$t$の値を求めよ．

【４】　以下の文を読み，その後の問に答えよ．

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自然数とは$1$以上の整数のことである．また素数とは，$1$と自分自身以外の約数をもたない$2$以上の自然数のことである．

$3$個以上の要素をもつ自然数の集合$\mathrm{A}$が次の性質をもつとき，それを$3\mathrm{P}$集合と呼ぶことにする．

ここで$3\mathrm{P}$集合の$3$は$3$個の和を考えていることを意味し，$\mathrm{P}$は素数（Prime number）を意味する．

このような集合が存在するのかどうか，という問題を考えてみる．

要素の個数が$3$の$3\mathrm{P}$集合は存在する．例えば$\{1,2,4\}$という集合がそうである．$1+2+4=7$は素数だからである．要素の個数が$3$のときは，その集合が$3\mathrm{P}$集合であるとは，単にすべての要素の和が素数になる，ということである．

要素の個数が$4$の$3\mathrm{P}$集合も存在する．例えば，$\{1,3,7,9\}$という集合がそうである．この中から$3$個の要素を選び出す方法は，$\{1,3,7\}\text{，}\{1,3,9\}\text{，}\{1,7,9\}\text{，}\{3,7,9\}$の$4$通りあるが，それら$3$個の数の和は順に$11\text{，}13\text{，}17\text{，}19$であり，すべて素数になっている．

要素の個数が$4$の$3\mathrm{P}$集合はこれ以外にも，

$\{1,9,37,93\}\text{，}\{1,21,37,45\}\text{，}\{1,23,65,85\}\text{，}\{27,79,91,93\}\text{，}\{5,39,93,95\}$

など，いろいろある．数が大きなものでは，

$\{24141901,46138015,48845243,\mathrm{82115735<mo\; stretchy="false">\}</mo>}$

などのように，それが$3\mathrm{P}$集合であるのかどうかを判定するのにコンピュータを必要とするものもある．

さて次に，「要素の個数が$5$の$3\mathrm{P}$集合はあるか？」ということが問題となるが，結論から言えば，要素の個数が$5$の$3\mathrm{P}$集合は存在しないのである．以下では，それを証明してみよう．

そのために，まず自然数を次のように分類する．

$3$で割ったときの余りは$0\text{，}1\text{，}2$の$3$通りのどれかなので，どんな自然数も，タイプ$0\text{，}$タイプ$1\text{，}$タイプ$2$のどれかである．例えば，$7$はタイプ$1$であり，$8$はタイプ$2$であり，$9$はタイプ$0$である．

自然数$n$がタイプ$r$ならば，$n$は$3$で割ると余りが$r$なので，$n=3k+r$と書ける．ここで$k$は$n$を$3$で割った商である．

このようにタイプに分けることにより，次のことがわかる．

この命題を使うと，求める定理を証明することができる．

証明：背理法で証明する．相異なる$5$個の自然数の集合で$3\mathrm{P}$集合であるものが存在すると仮定すると矛盾が生じる，ということを示せば良い．

$\mathrm{A}$を相異なる$5$個の自然数の集合で$3\mathrm{P}$集合であるものとする．

もし$\mathrm{A}$の中に$3$個の同じタイプの数があれば，上の命題から，$\mathrm{A}$は$3\mathrm{P}$集合ではないことになり，$\mathrm{A}$は$3\mathrm{P}$集合であるという仮定に反する．従って，$\mathrm{A}$の中には，同じタイプの数は最大$2$個しかない．

このことから，$\mathrm{A}$の中には，タイプ$0\text{，}$タイプ$1\text{，}$タイプ$2$のどのタイプの要素も少なくとも$1$個はある，ということがわかる．

そこで，$\mathrm{A}=\{n_0,n_1,n_2,n_3,n_4\}$であるとして，$n_0$はタイプ$0\text{，}{n}_1$はタイプ$1\text{，}{n}_2$はタイプ$2$としよう．

$n_0=3k_0\text{，}{n}_1=3k_1+1\text{，}{n}_2=3k_2+2$と書ける．ここで，$k_0\text{，}{k}_1\text{，}{k}_2$はそれぞれ$n_0\text{，}{n}_1\text{，}{n}_2$を$3$で割った商である．

＜証明終り＞

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問１：命題の証明の最後の部分を完成させよ．

問２：定理の証明の中の下線部分に$\mathrm{A}$の中には，タイプ$0\text{，}$タイプ$1\text{，}$タイプ$2$のどのタイプの要素も少なくとも$1$個はあると書かれているが，なぜそうなのか理由を述べよ．

問３：定理の証明の最後の部分を完成させよ．