2013　岩手大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　式${(a+b)}^6$を展開したときの$a^3{b}^3$の項の係数を求めよ．

(2)　$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．

(ⅰ)　$1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．

(ⅱ)　$1$個の引出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．

(3)　設問(2)(ⅱ)における書類の取り出し方の場合の数は，式

${(ab+a+b+1)}^6$

を展開したときの$a^4{b}^2$の項の係数に等しくなる．その理由を述べよ．

【２】　座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-3,0)$を直径の両端とする球面$S$を考える．$S$上に点$\mathrm{P}(x,y,z)$をとり，$S$外に点$\mathrm{Q}(3,4,5)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　球面$S$の方程式を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．

(3)　原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}(x,y,z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　不等式${\log }_{2}x>1$を解け．

(2)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}x>1$を解け．

(3)　座標平面上に，

${\log }_2(x+y)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x-y)$

が定義される領域を図示せよ．

(4)　座標平面上に，不等式

${\log }_2(x+y)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x-y)>1$

の表す領域を図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表し，辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CA}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表すとき

$(a\sin A-b\sin B)\cos (A+B)=0$

ならば，$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)=a{x}^r+b\text{（}x>0\text{）}$において，

$f(2)=27\text{，}f(4)=87\text{，}f(8)=387$

を満たすとき$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　$9$個の自然数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9$から相異なる$3$つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び替えたものを$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3\text{（}{X}_1>X_2>X_3\text{）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X_2$が$a\text{（}2\leqq a\leqq 8\text{）}$以下になる確率を求めよ．

(2)　$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a\text{，}$およびそのときの確率を求めよ．

【３ア】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}{a}_n>0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であり，$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i$とするとき

${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}={10}^n$

を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_{10}{S}_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．

(2)　設問(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の$n\geqq 2$での一般項を求めよ．

【３イ】　平面上の一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{O}$を端点とし$\mathrm{A}$の方向に伸びた半直線$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を求めよ．

【４カ】　$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．

(3)　設問(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．

【４キ】　実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=a{x}^3\text{，}{C}_2\text{：}y=k\log x\text{（}x>0\text{）}$

を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)　共有点の$x$座標を求めよ．

(2)　$k$を$a$を用いて表せ．

(3)　$k=4$のとき，$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，$e^{2x}>{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$となることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ 1& 0\end{array}\right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2\ne E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．

《注》本問の次の(3)は0106を参照

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,2\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(1,0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が

$a_1=2\text{，}$$b_1=2\text{，}$$a_{n+1}=6a_n+2b_n\text{，}$$b_{n+1}=-2a_n+2b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c_n=a_n+b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

【３】　座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は実数とし，$0<\alpha <1\text{，}0<\beta <1$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\alpha \text{，}\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【４】　実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線$C_1\text{：}y=a{x}^2\text{，}{C}_2\text{：}y=k\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)　共有点の$x$座標を求めよ．

(2)　$k$を$a$を用いて表せ．

(3)　$k=2e$のとき，$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(4)　設問(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．