2013　福島大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x$を実数とするとき，$4\cdot 3^x+3^{1-x}$の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$a>b>c$とするとき，不等式${\displaystyle \frac{a-b}{a^2{b}^2}}+{\displaystyle \frac{b-c}{b^2{c}^2}}>{\displaystyle \frac{a-c}{a^2{c}^2}}$を示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の不等式を解きなさい．

$\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+\sin x>{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

【２】　関数$y=\left|x\right|+|x-2|-|x(x-2)|$について，次の問いに答えなさい．

(1)　この関数のグラフをかきなさい．

(2)　(1)のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=6$のとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$のうち最小の余弦の値を求めなさい．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．

(3)　$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

【４】　$-2\leqq x\leqq 4$のとき，不等式

$x^2+(a-4)x+2a>0$

が成立する実数$a$の範囲を求めなさい．

【５】　座標平面において，$x$座標と$y$座標が両方とも整数である点$(x,y)$を格子点と呼ぶ．

　関数$y={\log }_{\frac{3}{2}}x$のグラフと$x$軸および直線$x=4$で囲まれた部分（境界線上を含む）にある格子点の個数を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の不等式を解なさい．

$2x^3-5x>-x^2-2$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の方程式を解なさい．

$2{\cos }^{2}x+5\sin x=4\text{（}0\leqq x<2x\text{）}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^3+2x}{x^2+1}}dx$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^x(\sin x-\cos x)$

【２】　$2$つの関数$f(x)={\log }_{e}a{x}^2-1$と$g(x)=x^2$がある．ただし，$a$は定数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(-1)$の値を求めなさい．また，$x=-1$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が接するような定数$a$の値を求めなさい．また，このとき，$y=f(x)\text{，}y=g(x)\text{，}$および$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めなさい．

【３】　平面上に$3$点$\mathrm{A}(5,0)\text{，}\mathrm{B}(8,9)\text{，}\mathrm{C}(0,5)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心の座標および半径を求めなさい．

(2)　$\angle \mathrm{CBA}$の大きさを求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(4)　点$\mathrm{B}$を通り，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円に接する直線の傾きを求めなさい．

【４】　$t$に関する関数$g(t)$を

$g(t)=A{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\frac{t}{2}}+b{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\frac{t}{30}}$（$A\text{，}B$は定数）

とする．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.301$とする．

(1)　$A=2^{15}\text{，}B=2^{16}$とするとき，$g(30)$の値を求めなさい．

(2)　$A=1\text{，}B=1$とし，$h(t)={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\frac{t}{30}}$とするとき，$g(t)-h(t)<{10}^{-3}$となる$t$の範囲を求めなさい．

(3)　$A=1\text{，}B=1$とするとき，$g(t)<{10}^{-1}$となる最小の整数$t$を求めなさい．必要ならば，$x<{10}^{-3}$のとき，${\log }_{10}(1+x)<0.5x$が成り立つことを用いてもよい．