2013　茨城大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$とする．$-1\leqq \tan x\leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．

(2)　$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$つの野球チームが戦い，先に$4$勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．

(3)　$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合の期待値を求めよ．

【３】　平面上に$▵\mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{OAQ}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{10}}S$のとき$t$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数として，関数$f(x)=x^3-a{x}^2+bx+1$について次の各問に答えよ．

(1)　微分係数$f^{\prime }(0)\text{，}{f}^{\prime }(1)$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(3)　$f(x)$が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が$1$となるための$a\text{，}b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,y)$が

$x=\sin t\text{，}y=\sin 2t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のようになっている．）以下の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

(2)　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，(2)の接線$l$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．

(4)　$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S\text{，}T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．

(5)　(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,f(a))$における$C$の接線を$l\text{，}$法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．

(1)　$l\text{，}n$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$l$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．

(3)　$\left|a\right|<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．

【３】　$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$とし，$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とおく．また，$2$次の単位行列を$E$で表す．以下の各問に答えよ．

(1)　$A^3=E$を示せ．

(2)　$r$を実数とする．自然数$k$に対して，行列${(rA)}^{3k}+{(rA)}^{3k+1}+{(rA)}^{3k+2}$の$(1,1)$成分を$a_k$とおくとき，$a_k$を$r$を用いて表せ．

(3)　自然数$N$に対して$x_N=2{\displaystyle \sum _{k=0}^N}{a}_k$とする．ただし$a_k$は，$k\geqq 1$のときは(2)で定めたものとし，$k=0$のときは$a_0=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}r-{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2$とおく．$-1<r<1$のとき，$f(r)=\underset{N\to \infty }{\lim }{x}_N$を求めよ．

(4)　$r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき，(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)={\log }_a(ax)$を微分せよ．ただし，$a>0$かつ$a\ne 1$とする．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle {\int }_1^{x^2+1}}{t}^2{(t-1)}^{5}dt$を微分せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}dx$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}dx$を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　不等式$x+|y-1|\leqq 1$の表す領域を図示せよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$a$を実数とする．このとき，

$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$かつ$A\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

を満たす行列$A$が存在するかどうかを調べよ．存在するときは$A$を求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．

【３】　平面上に$▵\mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{OAQ}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{10}}S$のとき，$t$の値を求めよ．

【４】　連立不等式

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}-\cos x\leqq y\leqq \sin 2x$

の表す領域を$D$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

(3)　領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転したときにできる立体の体積を求めよ．