2013　東京工業大学　前期MathJax

【１】(1)　$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$に対し，${\alpha }^n+{\beta }^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．

【１】(2)　$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．

【２】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc\text{，}$$t(A)=a+d$と定める．

(1)　$2$次の正方行列$A\text{，}B$に対して，$\Delta (AB)=\Delta (A)\Delta (B)$が成り立つことを示せ．

(2)　$A$の成分がすべて実数で，$A^5=E$が成り立つとき，$x=\Delta (A)$と$y=t(A)$の値を求めよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

【３】　$k$を定数とするとき，方程式$e^x-x^e=k$の異なる正の解の個数を求めよ．

【４】　正の整数$n$に対し，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において$\sin 4nx\geqq \sin x$を満たす$x$の区間の長さの総和を$S_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【５】　$a\text{，}b$を正の実数とし，円$C_1:{(x-a)}^2+y^2=a^2$と楕円$C_2:x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$を考える．

(1)　$C_1$が$C_2$に内接するための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(2)　$b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第$1$象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,q)$を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$x\geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．