2013　お茶の水女子大学　後期理学部MathJax

【１】　直方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{OD}$の長さをそれぞれ$a\text{，}c\text{，}d$とする．

(1)　$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ACD}$におろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さ，$▵\mathrm{ACD}$の面積をそれぞれ$a\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{E}$を通る平面におろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となることを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$はすべての実数に対して定義され，第$2$次導関数を持つものとする．$\alpha <\beta$とする．曲線$y=f(x)$の$x=\alpha$における接線と$x=\beta$における接線が一致しているとき，

$f^{\prime }(\alpha )=f^{\prime }(\beta )={\displaystyle \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}$

となることを示せ．またこのとき，方程式$f^{″}(x)=0$は区間$(\alpha ,\beta )$上で少なくとも$2$つの解を持つことを示せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とし，$g(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$とおく．

(ⅰ)　$\alpha \ne \beta$とする．直線$y=px+q$が曲線$y=g(x)$の$x=\alpha \text{，}\beta$における共通の接線となるためには，

$g(x)-px-q={(x-\alpha )}^2{(x-\beta )}^2$

と表されることが必要十分条件であることを示せ．また，この条件が成り立つとき，$p\text{，}q$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(ⅱ)　方程式$g^{″}(x)=0$が$2$つの実数解を持つならば，異なる実数$\alpha \text{，}\beta$で曲線$y=g(x)$の$x=\alpha \text{，}\beta$における接線が一致するようなものが存在することを示せ．

【３】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を$C$とする．実数$\theta$に対し，$A_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -2\sin \theta \\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とし，$A_{\theta }$で表される移動を$f_{\theta }$とする．

(1)　実数${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$に対し，移動$f_{{\theta }_1}$と$f_{{\theta }_2}$を合成した移動は$f_{{\theta }_1+{\theta }_2}$となることを示せ．

(2)　移動$f_{\theta }$によって，$C$上の点は$C$上の点に移されることを示せ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$ad-bc=1$を満たす実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される移動$f$によって，$C$上のすべての点が$C$上の点に移されるとき，行列$A$はある実数$\theta$によって$A_{\theta }$で表されることを示せ．

(4)　$x_0>0\text{，}{y}_0>0\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$C$上の点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$を移動$f_{\theta }$で移した点を${\mathrm{P}}_{\theta }(x_{\theta },y_{\theta })$とする．$C$上の弧${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{\theta }\text{，}$線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{\theta }$で囲まれた部分の面積を求めよ．ここで$\mathrm{O}$は原点を表す．