2013　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{2\sin x}}\text{（}0<x<\pi \text{）}$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(ⅱ)　$0<x<\pi$のとき，${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\}$を求めよ．

(ⅳ)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3}{4}\pi }}f(x)dx$を求めよ．

【２】　関数

$y={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}}$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　定積分$I={\displaystyle {\int }_{-1}^1}ydx$を求めよ．

　以下では，$n$は自然数とする．

(ⅱ)　$I_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_{-n}^n}ydx$を求めよ．

(ⅲ)　$J_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_{-n}^n}y(1-y)dx$を求めよ．

(ⅳ)　$K_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_{-n}^n}{y}^{2}dx$とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{K}_n$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　自然数$n$に対して，

${(\cos \theta +i\sin \theta )}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$

が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(ⅱ)　$\cos (n\theta )=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．

(ⅲ)　$t=\cos \theta$とする．(ⅰ)の等式を使って，$\cos 5\theta =f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．

(ⅳ)　$f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \text{（}0\leqq \alpha \leqq \pi \text{）}$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．

(ⅴ)　$\cos {\displaystyle \frac{3}{10}}\pi$を求めよ．

【４】　座標平面上の$2$つの直線$l\text{，}m$を，それぞれ

$l:y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x\text{，}m:y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$

とし，$l$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,-t)$をとる．ただし，$s>0\text{，}t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s\text{，}t$の式で表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{D}(X,Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s\text{，}t$の式で表せ．

(ⅳ)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$s\text{，}t$の式で表せ．

(ⅴ)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．